偏导数
我们都知道导数是一元函数的变化率，衡量每个x位置处的瞬间变化率。
偏导数是针对多变量函数而言的，它通过将多变量函数退化成一元函数分别求各自的导数。以二元函数为例：
Z = F（x，y）
求x的偏导数就是将y变量看成常量，然后对x求导。
总结：偏导数为函数在每个位置处沿着自变量坐标轴方向上的导数（切线斜率）。
梯度
梯度指的就是各个偏导数构成的向量，写作∇f，二元时为(∂z/∂x,∂z/∂y)，多元时为(∂z/∂x,∂z/∂y,…)
梯度是一个向量，既有大小又有方向
梯度的意义在后面讲到方向导数会体现出来。
方向导数
前面讲的偏导数是函数沿着某个坐标轴方向的导数，但如果是任一方向呢？它的导数又该如何计算？
定义xy平面上一点(a,b)以及单位向量u =(cosθ,sinθ)，在曲面z=f(x,y)上，从点(a,b,f(a,b))出发，沿u =(cosθ,sinθ)方向走t单位长度后，函数值z为F(t)=f(a+tcosθ,b+tsinθ)，则点(a,b)处u =(cosθ,sinθ)方向的方向导数为：
总结：任意方向的方向导数为偏导数的线性组合，系数为该方向的单位向量。当该方向与坐标轴正方向一致时，方向导数即偏导数。
方向导数与梯度的关系
方向导数还可以进行下面的转换，从而直观显示方向导数和梯度的关系。
ϕ为∇f(a,b)与u向量的夹角，显然夹角为0时，方向导数最大，最大值为梯度的模。当ϕ=π即u与梯度∇f(a,b)反向时，方向导数取得最小值，最小值为梯度模的相反数。
梯度的几何意义：
方向：梯度的方向就是函数在该位置的方向导数的最大方向，即函数值上升最快的方向。
大小：梯度的模是最大方向导数的值。
等高线的梯度
等高线，顾名思义，即这条线上的点高度（函数值）相同，令某一条等高线为z=f(x,y)=C，C为常数。
等高线上任一点p的导数为dy/dx，则它的法向量为其负导数。由隐函数的求导公式可得：
梯度为向量(∂f/∂x,∂f/∂y)，则其方向为
由此可见，梯度的方向与等高线切线的法向量方向是相同的
小结
偏导数构成的向量为梯度；方向导数为梯度在该方向上的合成，系数为该方向的单位向量；梯度方向为方向导数最大的方向，梯度的模为最大的方向导数值；梯度垂直于等高线，同时指向高度更高的等高线；隐函数可以看成是一种等高线，其梯度为高维曲面（曲线）的法向量