爱上数学提高素养
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二次函数的四种表达式求法推导
整理于2018418夜
(1
(1)如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为 三元一次方程组求a、b、c。
y .= ax2 bx c，把已知三点坐标代入其中构造
h， k)，则二次函数的表达式为:y _ a( x -h) 2k推导如下：2y ?ax2■ bxc
h， k)，则二次函数的表达式为:
y _ a( x -h) 2
k
推导如下：
2
y ?ax2
■ bx
c
_a( x2
b X
c )
a
a
=a[ x2
b x
(32
_(h)2
c]
a
2a
2a
a
-a[( x
b )2
-b2
c ]
2a
4a 2
a
= a[( x
b )2
SMac
?2]
2a
4a 2
(2)二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为(
2
丄 b2)4ac -b
-a( x )
2a4a
则 h,k _ 4ac
2a4a
顶点式的变形：
设二次函数 y -ax 2 bx c(a 0)
的图像交 X轴于点 A ( X1 , 0)和B ( X2 ,0)，则X1 X2 --七
a
X1 *X2—
a
点A、B的距离为d，
d -X2
(X2
-X1 )2
(X1
X2 ) 24
f
(_b ) 2 _ 4c
、a
a
b 2
4ac
a
2
b 2 -
4ac
X1
a
X1 ?X2
y ax 2
bx
c
2
-a(x
b X
专-C )
a
a
2
a[ x
b X
亠(妒)2 -
(七-)2七]
a
2a
2a a
-a[( x
b )
2_ b 2 .
c
]
2a
4a2
a
a
b
2 b2-
4ac
a[( x
2a)
4a2
]
-a[( x
缶)
2 1 d 2]
2a
4
-a(x
b ) 2
-1 ad 2
2a
4
d，则设二次函数的表达式为:
已知二次函数与x轴两个交点间的距离
y 7 X X0 )[ X (X0d)]
(3)二次函数两根式：如果二次函数的图像与
(3)二次函数两根式：如果二次函数的图像与
X轴交于点(X1 ,.0)和(X2 ,0)，则二次函数的表达式为:
y毛(x x 1 )( x X2 ) 推导如下:
设二次函数的图像交x y -ax2 bx c(a 0)于点(xi, o)和(X2 ,0)， 则x,i和口 X2是一元二次方程
ax2c -0(a -0)的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得：xi X2吓， xi- X2- c
aa
所以，
y —ax2 bx c
-a( x2 b X c )
a a
-a[ X2 -(X1X2 ) xi -X2 ]
—a( x - xi )( x— X2 )
(4)二次函数对称点式:
如果二次函数的图像过点(Xi ,m)和(X2,)(它们关于抛物线对称轴xi x对称)，则可以得到二次函数的表达式对称点式:y
如果二次函数的图像过点
(Xi ,m
)和(X2,
)(它们关于抛物线对称轴
xi x
对称)，则可以得到二次
函数的表达式对称点式:
y
方法i二次函数的图像过点
-( )( )(
x xi xX2m a
-0)，推导如下:
xi m
(,
X2 )和(
m
)，那么
xi
和
X2
是X的一元二次方程
22
ax bx c m (即 ax bx
)(—
X i X
ax bx c a x
「=0)
c m 丿
-)
X2 m
的两根，则有
+ + 一
2
ax bx c m
a(x Xi )( X X2 )
a( x x i )( x X2 )
方法2二次函数y 一
方法2
二次函数y 一
ax
2 bxc的图像经过点
(,)和(,
xi m
)，则有
X2 m
弓2
m ax i
-bxi - cI
b
~ a ( xi X2
m -ax 2 2
bx2
c解得
c
ax x m
i 2
y - ax 2
+ 1 bx
c中，得
2
a( xi
七 萨■+
y ax
X2 ) axi X 2
m
2 L
「 +
a[ x 2
(xi
X2 ) Xi X2 ] m
~a(x
Xi )( X
X2 ) m
代入