写这篇文章不在于讲述泊松分布性质，而只是证明泊松分布。
当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似。
概率相加为1证明由分布律的定义知道，分布律应符合：
∑ i = 0 n p i = ∑ P { X = i } = 1 sum_{i=0} ^{n} p_{i} =sum P{X=i}=1 ∑i=0npi=∑P{X=i}=1
泊松分布为离散型随机变量，公式：
P { X = k } = λ k e − λ k ! , k = 0 , 1 , . . . n P{X=k}=frac{lambda^ke^{-lambda}}{k!},k=0,1,...n P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,...n
证明概率相加为1。
∑ 0 ∞ P { x = k } = ∑ 0 ∞ λ k e − λ k ! = e − λ ∑ 0 ∞ λ k k ! sum_{0}^{infty}P{x=k}=sum_{0}^{infty}frac{lambda^ke^{-lambda}}{k!}=e^{-lambda} sum_{0}^{infty} frac{lambda^{k}}{k!} 0∑∞P{x=k}=0∑∞k!λke−λ=e−λ0∑∞k!λk
其中：
∑ 0 ∞ λ k k ! = e λ sum_{0}^{infty} frac{lambda^{k}}{k!}=e^{lambda} 0∑∞k!λk=eλ
这是无穷级数 e x e^x ex的展开式：
f ( x ) = e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + . . . . . 1 k ! x k f(x)=e^x=1+x+frac{1}{2!}x^2+.....frac{1}{k!}x^k f(x)=ex=1+x+2!1x2+.....k!1xk
当x= λ lambda λ时，有
f ( λ ) = ∑ 0 ∞ λ k k ! = e λ f(lambda)= sum_{0}^{infty} frac{lambda^{k}}{k!}=e^{lambda} f(λ)=0∑∞k!λk=eλ
那么泊松分布：
∑ P { X = k } = e − λ e λ = 1 sum P{X=k}=e^{-lambda}e^{lambda}=1 ∑P{X=k}=e−λeλ=1
证毕