1矢量点积
可以分别从正交坐标和极坐标角度理解点积度量的两个矢量的类似度。
向量
，
点积可以分解为两个方向的积之和，如下图所示。
通俗地说，如果x方向表示苹果，y方向表示橙子，
表示有
一个苹果，
橙子、苹果上浇
乘以橙色
最终得到
一个水果；
从极坐标来看，如下图所示，表示单向的能量增强了多少。
无论从直角坐标还是极坐标角度，都可以得出以下结论。
1 )两向量为同向时，积分积值最大；
2 )双向量反向时，积分乘积值最小；
3 )双向量垂直公式时，点积为零
以上分别从正交坐标和极坐标的角度讨论了两向量的相似度，上面两个表达一致吗？ 以下是讨论：
如上图所示，矢量b与矢量e正交，因此存在
可以解开
；
带入向量p增益
，
，
，
因此，两种显示可以得到相同的结果。
双向量外积
与向量的点积相反，向量的外积测定两个向量的差异、数值
表示两个向量的差异。
1 )两个向量为相同方向时，数值
零，两个向量的差异为零；
2 )双向量反向时，数值
零，两个向量的差异为零；
3 ) 2向量垂直式时为数值
最大、两个向量的差异最大
例如，构成两个向量平行四边形的面积相等
中选择所需的墙类型。 两个向量正交时，构成平行四边形的面积最大。
在以上讨论中，情况1 )和情况2 )的结果表明，一个固定向量能够构造与两个不同向量相同的外积，这两个不同向量与固定向量所成的角是互补关系。
积分积的情况下，没有这样的事情。
仅仅用数值表示两个向量的差异是不够的。
考虑到x、y和z轴上的单位向量(x、y和z )，x和y的差异是1，x和z的差异也是1，并且可以通过使用方向信息来区分两种不同的差异。
x和y的不同方向定义为垂直于x和y，即z； 同样，x和z差异的方向同时垂直于x和z；
使用右手系统，可以使用xyzxyz模式提供坐标轴上向量外积的方向：
xy - z、yz -x、zx - y；
至此，两个向量外积方向同时垂直于两个向量定义，其数值表示两个向量的差异；
由于任何向量可表示为基向量的线性组合，下面给出任意两个向量的外积推导。
，
，
，
，
；
矩阵公式可用于表示向量的外积，如下所示：