从前期的文章《泊松分布》可以看出，泊松分布的分布律如下
p(x ) t )=k )=)t ) ketk！
是单元时间内事件发生的次数。 如果在时间间隔t内事件发生的次数为0 :
p(XT )=)t ) 0et0！=et
相反，在时间间隔t内发生事件的概率等于1减去以上的值。
p(x=t )=1et
这是时间间隔t的参数下的分布函数。 概率论知识表明，分布函数是概率密度函数从负无限到正无限的积分。 导出上述分布函数，结果如下。
f(t )=et
这就是《指数分布》的概率密度函数。 也就是说，指数分布可以根据泊松分布导出。
对指数分布的期望和方差可推导如下。
首先，由于指数分布是连续型随机分布，因此其期待e(x )如下。
e(x )=|x|f ) dx=0xf(x ) x ) dx=0xexdx=10xexdx
假设u=x，则如下所示
e(x )=10UEudu=1() EUEU )|(，0 )=1
对于指数分布的方差d(x ) :
d(x )=d(x2 ) ) e (x ) ) 2
其中：
e(x2 )=|x2|f ) dx=0x2f(x ) x ) dx=0x2exdx
e(x2 )=120xxexdx
假设u=x，则如下所示
e(x2 )=120u2eudu=12 () 2EU2UEu2EU )|(，0 ) ]=122=22
所以：
d(x )=d(x2 ) ) e (x ) )2=12 )2=12