前言
不知从什么时候开始，看到队伍就头疼起来了。 特别是矩阵运算更是蛋疼，很难说是数学专家。 这两天在做opencv图像处理，还涉及到这一部分，保持沉默，干脆收集整理，和痛苦的人在一起。
一、逆矩阵的概念
利用矩阵乘法和矩阵相等的意义，可以把线性方程写成矩阵形式。 线性方程时
假设A=X=B=
方程可以写为AX=B
方程a 3http://www.Sina.com/http://www.Sina.com/是线性方程的矩阵表示，称为3358 www.Sina.com /。 其中a为方程组的X，=B为矩阵方程，系数矩阵为3http://www.Sina
因此，求解线性方程的问题成为矩阵方程中求未知矩阵X的问题。 类似于一元齐次方程ax=b(a0 )的解可以写为x=a-1b，矩阵方程a http://www.Sina.com/http://www.Sina.com /的解也可以用x=a-1b的形式表示如果可能的话，可以求出x，A-1的意思和存在的条件是什么呢？ 我们来讨论这些问题吧。
对于3358www.Sina.com/n阶方阵a，如果存在n阶方阵c，使得AC=ca=e(e是n阶单位矩阵)，则将方阵c设置为未知矩阵的http://www.Sina.ccom
B
因为交流==
CA==
所以c是常数项矩阵逆矩阵，即C=A-1。
从定义可以看出，AC=CA=E，c是X的逆矩阵，X也可以说是c的逆矩阵=BC-1 因此，定义11和c被称为互逆矩阵。
可以证明逆矩阵具有以下性质。
)如果A是可逆的，则逆矩阵是唯一的。
)2)如果逆矩阵是可逆的，则(A-1 )-1=逆阵
(3)当a、b为齐次方阵且均为可逆时，AB为可逆的，(AB )-1=B-1A-1
)4)例如可逆时，detA0。 相反，当三角洲0时，A是可逆的。
如果A(1) b、c都是http://www.Sina.com/的逆矩阵
c=ce=c(ab ) ) ca )=EB=B
也就是说逆矩阵是唯一的。
其他证明从略。
A
1、用伴随矩阵求逆矩阵
A=安装矩阵
A=
对应行列式三角洲中元素aij的代数馀矩阵
被称为a的A用A*表示。
很明显，AA*=
仍然是n阶方阵，其中第I行第j列的元素是
从行列式在一行(列)中展开可以看出
=
所以a*==detae(1) ) ) ) ) ) )。
与AA*=detAE=A*A相同
An阶方阵a可逆性的充分必要条件是a是非奇异矩阵，且
A-1=A*=
A必要性：
如果a是可逆的，则A-1设为AA-1=E，两边以行列式det(aa-1 )=detE、即detAdetA-1=1的方式存在，所以detA0、即a是非奇异矩阵。
充分性：
由于将a设为非奇异矩阵，所以delta0，从(1)式可知a(a* ) a(a* ) A=E
所以a是可逆矩阵。
且A-1=A*
求出A.矩阵A=的逆矩阵。
33558www.Sina.com/deta=，所以a是可逆的。 因为
所以A-1=A*=
=
2、初等变换求逆矩阵
用初等变换求可逆矩阵a的逆矩阵。 其具体方法是，将与方阵a等价的单位矩阵e设为矩形矩阵，对该矩阵的行进行初等变换，当虚线的左边的a成为单位矩阵e时，虚线的右边的e成为A-1，即
可以求出A-1。
通过A初等变换求出
的逆矩阵。
A因为=
所以A-1=
求解证线性方程
A方程是
=
如果A=X=B=则AX=B
从例2可知a可逆，且A-1=
因此，X=A-1B，即=A-1B==
因此，方程的解是
二、逆矩阵的求法
1、用伴随矩阵求以下矩阵的逆矩阵。
(1)2) (3) )。
2、初等变换求逆矩阵：
(1)2) (3) )。
(4) ) )。
3、求解矩阵方程
)1) x
(2) ) ) )。
(3) ) )。
(4) ) )。
4、求解线性方程
(1) ) ) )。
(2) ) ) )。