作者：少量的helper
来源：我可以帮你一点忙
上一篇文章主要介绍了回归系数、样本和整体回归方程、预测值和残差等、回归关键词，今天我们结合一种情况来看一下如何进行完整的回归分析，准确地说是多重线性回归(Multiple Linear Regreesion )。
评论：多重线性回归
多重线性回归一般是指自变量x有多个，原因变量y只有一个。 以上主要以简单线性回归为例进行了说明，但两者的差主要在于自变量x的数量，只有一个x时称为简单线性回归。
在实际的APP中，当然很少只包含一个自变量。 多重线性回归一般也称为“多元线性回归”，但我支持“多重”的说法。 因为“多变量”一般指“因变量y”有多个。
在上一篇文章中，我们知道进行线性回归是构建y和x的线性关系。 主要目的有两个，一是确定x对y的影响程度。 也就是回归系数的计算。 第二，从x预测y。
这里最重要的指导方针之一是，y需要是定量变量，类似于“收入”、“得分”等。 另一方面，对x没有这样的要求，也可以是“教育年限”、“年龄”等定量的要求； 也可以是“性别”、“民族”等分类变量。
案例从某高三女生体检数据中，随机抽取20名作为样本，数据包括体重(公斤)、胸围)、肩宽)、肺活量)，分析zrdyl肺活量的影响因素，数据见下表。
首先，简单看一下上表的数据，我想讨论一下女生肺活量的影响因素，所以回归的主要因素变量是“肺活量(y )”，根据常识和数据，这里的y是定量变量。
的其他数据进行收集作为潜在的影响因素(x )纳入回归方程，分别为体重、胸围、肩宽。 可以很容易地判断这三个自变量都是定量变量。
(对于还不清楚变量类型如何判断的学生，我们来回顾一下)
在此，为了进行回归分析，一个是判断这些x是否全部对y产生影响(整体回归系数是否不为0 )； 二是通过结构的回归方程，未来根据x的值计算y的预测值。
多重线性回归的SPSS操作
回归分析用SPSS操作的步骤如下。
SSS数据输入格式
SPSS回归分析菜单(线性表示线性回归) ) )。
回归操作窗口以从属为原因变量，以从属为自变量，分别填充
上图的“Method”被称为“参数筛选”方法。 做线性回归分析的关键是寻找y的影响因素。 这里的“寻找”意味着“筛选”。
例如，在这个例子中，我们加入了三个参数。 就是通过回归分析，找出真正影响y的变量。 如果三个x可能影响最终结果，则最终回归方程可能有三个x，也可能没有一个x。
“方法”下拉菜单包含许多选项。
Enter (将自变量全部强制并入回归式，不排除回归系数p的值大于0.05的情况；
Stepwise、Remove、Backward、Forward，这些都是软件筛选自变量的方法，虽然名称不同，但思想相近。 主要根据回归系数检验的p值是否小于0.05、是否还有0.1来判断回归方程中是否应该有这个变量。
一般来说，没有哪个筛选方法最好，但在实际应用中常见的是Stepwise和Backward。 建议自己进行回归分析时尝试不同的方法，选择自己认为合适的方法。
在这种情况下使用Stepwise法，在中文中称为“分步法”或“分步法”。
yle="text-align: justify">多重线性回归的结果分析以下为SPSS分析结果展示：
表1：回归方程的拟合程度
上表最左侧一列为“Model”，表示的是SPSS筛选变量的过程，因为我们选择的是stepwise，所以每进行一步，即每筛选一个变量，就称为一个Model，比如Model"1"表示只纳入1个自变量，Model“2”表示纳入2个，“3”表示纳入3个，”4“表示最终模型剔除了一个自变量，仅纳入2个自变量。
表格第2-4列分别为”R、R Square、Adjusted R Square“，一般的教科书讲的很多，表示的是回归方程对因变量的解释程度，数值越大，解释度越高。但它又是一个比较尴尬的数，实际应用简单参考即可。
表2：回归方程的整体检验
这里的Model和上表1中表示的是同一个意思，代表了包括不同自变量的回归方程。对于回归方程的检验，一般来讲，都是有统计学意义的，看最后一列（Sig.）,即P值均小于0.05。
表3：回归系数结果
表3中的Model详细展示了变量的筛选过程，比如在Model 3中，回归方程将三个自变量”肩宽、体重、胸围“全部纳入，但是发现，”肩宽“这个变量的Sig.（P值）大于0.1了，于是就将它剔除出去，从而得到模型4——只纳入”体重和胸围“两个自变量，对照后面的P值结果，均小于0.05。
以上只是一种筛选变量的一种方法（Stepwise），通过统计软件P值自动进行，这并不意味，所有的线性回归分析均只能通过这种方法筛选，我们常说需要结合专业知识判断，在做回归分析时也不例外。
如果回归分析的结果与专业知识相悖，比如根据专业知识有影响的变量却被软件剔除，那我们首先得慎重思考回归的结果是否可信，比如是否满足前文提及的LINE条件，是否出现了多重共线性问题等等；如果经过诊断分析发现这些问题都不存在，在研究报告或论文中，仍可以如实地报告结果，为后面的研究提供参考。
本案例，我们还是依照统计软件的结果筛选变量，得到的最终回归方程为：
根据上表，我们写出本研究的回归方程：
上述结果表示，可以认为体重和胸围是影响该校一年级zrdyl肺活量的主要因素，保持胸围不变，体重增加1kg，估计肺活量平均增加0.081L（回归系数”0.081“的含义，在多重线性回归分析中也可称作”偏回归系数“）；保持体重不变，胸围增大1cm，估计肺活量平均增加0.046L（回归系数”0.046“的含义）。
另外，上表最后一列提供了一个”标准化偏回归系数“，这是将XY分别标准化之后再进行回归分析，如下：
”标准化偏回归系数“可以用来比较不同的自变量X对Y的影响程度。本例中，体重和胸围的标准化偏回归系数分别为0.644和0.436，意味着体重对肺活量的影响大于胸围对肺活量的影响。
以上即为回归分析的全过程，最后留给大家一个思考题，这里进行的分析，表示的是X和Y的相关关系，还是因果关系？欢迎在评论区留言讨论。