1、运动学车辆模型

车辆运动学模型如下图所示。

车辆运动学模型

这里，假设车辆是刚体，根据上图所示的几何关系，可以得到以下车辆运动学数学模型。

运动学模型的公式

其中，x0和y0表示车辆重心的位置，v表示重心的纵向速度，r表示车辆的横摆角速度，表示车辆的航向角，表示车辆重心侧偏角。

在低速的情况下，车辆的垂直运动通常可以忽略。也就是说，车辆重心偏角为零，车辆结构像自行车。因此，上述模型可以简化自行车的模型，如下图所示。

自行车模型

整个模型的控制量可以简化为v和，即纵向车速和前轮偏角。

由于车辆的转向控制量通常为方向盘角度，因此需要根据转向齿轮比将前轮的偏角转换为方向盘角度。

上述自行车车辆模型适用范围非常广，可以解决大部分问题。但是，在车辆高速行驶的情况下，简单的二自由度车辆模型往往不能满足横向控制的正确性和稳定性，此时需要使用车辆的动力学模型。

2、动力学车辆模型

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汽车的实际动力学特性非常复杂，为了准确描述车辆的运行状态，相关研究者提出了多种多自由度的动力学模型。但是，复杂的车辆动力学模型很好地反映了车辆的实际运动状态，但不适用于无人车的横向控制。其中，单轨模型是应用较多的动力学车辆模型。

单轨模型是在忽视空气动力学、车辆悬架系统、转向系统等的基础上，用等效前轮和后轮分别替换前后轮而得到的车辆模型。

单轨模型的具体受力分析如下图所示。

单轨电车模型

上图的车身坐标系oxy以车辆的重心为坐标原点，沿着车身前进的方向为x的正方向，与横轴垂直的左方向为y的正方向。根据傲娇锁链的第二法则和第三法则，可以得到以下公式。

由上式可知，单轨模型存在横向、纵向耦合，对于纵向动力学，发动机、传动系统的存在非常难以解释，动力学车辆模型主要用于车辆的横向控制，因此基于纵向车速恒定的假设，忽略了车辆的动力学，

高速行驶的车辆，前轮的偏角通常很小，有以下近似关系。

进去

一步简化，得到：

另外，对于处于稳定直线行驶的车辆，其轮胎一般工作在线性区域，即轮胎的侧向力与轮胎的侧偏角基本呈线性关系：

式中的Cf和Cr分别为前后轮的轮胎侧偏刚度。

前后轮的轮胎侧偏角又可近似描述为：

整理可得到线性二自由度的车辆动力学模型：

车辆动力学模型

两个自由度分别为：β：车辆的质心侧偏角，r：车辆的横摆角速度。

整理得到表征车辆运动学和动力学的微分方程式：

车辆运动学和动力学的微分方程式

对于无人车的路径跟踪控制，通常选取车辆的前轮偏角为系统的控制量，车辆质心的侧向位置y0为系统的输出量，选取系统的状态向量 x = [y0, Ψ, β, r]'。即车辆系统模型可描述为如下的状态空间形式：

动力学车辆模型的状态空间形式