二次函数的图像
二次函数解析表达式的三种形式
通式： y=ax2bxc(a、b、c为常数，a 0 )；
2、定位公式： y=a(x-h )2k ) a、b、c为常数，a 0 )；
三、二点式： y=a(x-x1) x - x2) a 0 )。
平行四边形的判定方法和性质
平行四边形
1、平行四边形的判定方法
定义：两组对边分别平行的四边形为平行四边形；
定理1 )两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
定理2 )两组对边分别相等的四边形是平行四边形
定理3 )对角线相互等分的四边形是平行四边形；
定理4 )对边平行相等的四边形组为平行四边形。
2、平行四边形的性质
性质1 )平行四边形的邻接角互补，对角相等
性质2 )平行四边形的对边平行相等
性质3 )平行四边形的对角线相互等分。
二次函数中平行四边形的存在性问题
二次函数中平行四边形的存在性问题
学习目标：
1、用分类思想讨论平行四边形的问题
2、用数形结合的思想解决综合问题
重点：对平行四边形的存在性进行分类讨论
难点：数形结合思想和作图
一、知识回顾(储备) )。
1、线段中点坐标公式
线的中点坐标公式
平面直角坐标系中有任意两点a、b，如果点a的坐标为[x1，y1]，点b的坐标为[x2，y2]，则为，
线段AB的中点p的坐标为(x1 x2 )/2，) x1 x2 )/2 )。
2、知识的扩大和应用：
思考：在平面直角坐标系中，ABCD的顶点坐标分别为a(x1，y1 )、b ) x2，y2 )、c ) x3，y3 )、d ) x4，y4 )。
我知道其中三个顶点的坐标，但是怎么确定第四个顶点的坐标？
(如图所示，已知ABCD中的a (-2，2 )、b(-3，-1)、c ) 3，1 )的点d的坐标为) 4，4 )。
根据中点公式进行分析： (x1x3(/2=) x2x4 )/2，) y1 y3 )/2=) y2y4)/2。
结果的简化可以为“销点法”的形式： x1 x3=x2 x4、y1 y3=y2 y4。
二、精确法(数学方法) )。
如图所示，在平面正交坐标系中，ABCD顶点坐标分别为a(x1，y1)、b ) x2，y2)、c ) x3，y3)、d ) x4，y4)，
这四个顶点坐标的关系是什么？
结论： x1 x3=x2 x4，y1 y3=y2 y4。
在平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等。
三、典型的学习(三定动) ) )。
图1、在平
面直角坐标系中，已知 A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，点 D 是平面内一动点，若以点 A 、B 、 C、 D 为顶点的四边形是平行四边形，则点 D 的坐标是 ______.
分析：设点 D（x，y），
① 点 A 与点 B 相对：
-1 + 1 = 3 + x，0 - 2 = 1 + y；x = -3，y= -3 ，此时 D2（-3，-3）；
② 点 A 与点 C 相对：
-1 + 3 = 1 + x，0 + 1 = -2 + y；x = 1，y = 3，此时 D1（1，3）；
③ 点 A 与点 D 相对：
-1 + x = 1 + 3，0 + y = -2 + 1；x = 5，y = -1，此时 D3（5，-1）；
综上所述：点 D 的坐标是 (-3,-3)，(1,3)， (5,-1) .
说明：（ 细节 ）
若题中四边形 ABCD 是平行四边形，则点 D（1，3），与四个点为顶点的四边形是平行四边形不同.
四、问题解决
【例题2】已知，抛物线 y = - x2 + x +2 与 x 轴的交点为 A、B，与 y 轴的交点为 C，点 M 是平面内一动点，若以点 M、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，请写出点 M 的坐标．
解析：（ 三定一动 ）
先求出 A( -1,0 )，B ( 2,0 )，C( 0,2 )，设点 M（x，y），
① 点 A 与点 B 相对：M3（1，-2）；
② 点 A 与点 C 相对：M2（-3，2）；
③ 点 A 与点 M 相对：M1（3，2）；
综上所述：点 M 的坐标是 M1（3，2），M2（-3，2），M3（1，-2）.
【例题3】如图，平面直角坐标中，y = - 0.25x2 + x 与 x 轴相交于点 B (4，0)，点 Q 在抛物线的对称轴上，点 P 在抛物线上，且以点 O、B、Q、D 为顶点的四边形是平行四边形，写出相应的点 P 的坐标 .
解析：（ 两定两动其中一点为半动点 ）
已知 B (4，0)，O（0，0），设 Q ( 2, a )，P ( m, -0.25m2 + m ).
① 点 B 与点 O 相对：m = 2，a = -1；P1（2，1）；
② 点 B 与点 Q 相对：m = 6，a = -3；P2（6，-3）；
③ 点 B 与点 P 相对：m = -2，a = -3；P3（-2，-3）；
综上所述：P1（2，1），P2（6，-3），P3（-2，-3）.
【例题4】如图，平面直角坐标中，y = 0.5x2 + x - 4 与 y 轴相交于点 B (0，-4)，点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y = - x 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点 Q 的坐标.
解析：（ 两定两动 ）
已知 B (0，-4)，O（0，0），设 P ( m, 0.5m2 + m - 4 )，Q ( a, -a ).
① 点 B 与点 O 相对：a1 = 4 , a2 = 0 （ 舍 ）；
② 点 B 与点 P 相对：a = -2 ± 2√5 ;
③ 点 B 与点 Q 相对：a1 = - 4 , a2 = 0 （ 舍 ）；
综上所述：
Q1（ -2 + 2√5 ，2 - 2√5 ），Q2（-2 - 2√5 ，2 + 2√5 ），Q3（-4，4）, Q4（ 4，-4 ）.
五、总结
“ 对点法 ”，需要分三种情况，得出三个方程组求解，动点越多，优越性越突出！
从“几何” 的角度解决问题的方法，能够使问题直观呈现，问题较简单时，优越性较突出！
“数无形时不直观，形无数时难入微”，数形结合是一种好的解决问题的方法！
六、作业（略）。