世界数学难题中，最有名的是千年试题7道。 这是一系列问题，解决其中任何一个都可以得到一百万美元。 雷曼假说最容易表达，所以有很多关于它的文章。 因为庞加莱猜想至今为止唯一得到了解决，所以关于它的文章也有很多。

本文讨论的问题被称为霍奇猜想(Hodge Conjecture )。 这是代数几何的问题。 本文试图为一般数学读者提供这一猜想的概要。

拓扑

如果从球面上的任何一个环(例如黑色的)开始，就可以将其滑动到点(黑点)。 能做这种事的时候，我们把这个环叫做“等于0”。 因为这个戒指会变成点。

对于这个球面上的任何环，我们都可以将其滑动到点，所以这个变形等价的环的集合为0。 用下式表示

必须注意的一个重要事项是，第一个循环不一定是“平滑循环”。 只要是闭环，什么形状都可以。 下标1表示研究的循环是一维的。

稍微增加一下难度，看看环面(也是二次元)。

上图中的红色环可以变形到环面上的一点。 但是，黑色的圈(上图的波状的黑圈)不能收缩成一点，大多成为上图平滑的黑圈。

包围中心孔的闭环可以缩小为中心环(上图中的红色圆圈)。 要严格证明并不容易。 因为我还没有给出真正的定义。 但是仔细想想，应该可以说服自己，环面只有以上三种情况。

因此，唯一的非零元素来自这两个环。 该示例(环面)由下式表示。

那是第一个同步集团。 如果一个循环是“a”，另一个循环是“b”，则可以将有理数作为系数相加。 示例：

这些一维的环称为一环，k维对应的环称为k环。 准确地定义这些有点奇怪。 因为，我们仍然希望在更高的维度上“合二为一”的概念。

为了感受，请想象3d球体：

如果里面有二维的小块，总是能把它压缩成一个点。 虽然从图中很难看出，但应该注意到这是在三维球体的内部。 在前面的例子中，我们必须在二维球面上。

k型圈的情况用以下公式表示。

由于所有的1-环都会缩到球面上的一点，因此：

所有的2-环也会缩到一点，因此：

在某种意义上，H的维数k将告诉你在空间X中有多少个（n-k）维孔，其中n是X的维数。H_1是二维的，因为它有两个“dlf，一个绕着环面的“管”，另一个绕着中心孔。

几何

几何可以表示很多不同的东西，但在本文中，我们用的是“代数几何”。如果你学过线性代数，你应该对这个概念很熟悉。线性代数研究的是线性方程组的零集。你会得到非常简单的东西，比如平面和子空间。

回想一下，线性代数中的技巧包括在思考“图像”（比如零空间、值域空间、平面的交点）和实际计算的“代数”之间来回转换。

线性代数在某种意义上是“完全解决了”，但如果你让你的方程中有不同指数，那它们就是多项式。这就是代数几何：在多项式零集的几何和处理这些方程的代数运算之间进行转换。

在本文中，一个光滑代数簇（简化为“簇”）是一个几何空间X，由多项式的零集给出，得到的空间是"光滑的"，就像你们在微积分中学到的那样。

二维球面由二次方程给出。圆环面是由三次方程给出的椭圆曲线。希望你们理解了这个奇怪的术语。椭圆曲线是一个二维环面。

因为我们处理的是复数，所以“实”维数总是偶数。如果你考虑复平面，它看起来像：

但它只是ℂ。代数几何学家用复维来称呼事物，所以一维曲线有2个实维，而二维曲面有4个实维。

我们需要的最后一个术语是子簇。你们可以想象，X的一个子簇是由多项式方程零点集给出的一个子集，因此也是一个簇。

这是使霍奇猜想有趣的关键思想：从拓扑学家的观点来看，实际上没有什么多样性。

作为多项式集合的零集是非常有限的。拓扑上的东西可能会很疯狂，很奇怪且很晦涩。如果你从X的一个子簇开始，然后像我们上面做的那样对它进行任意变形，你最终得到的将不再是一个子簇。

另外，请注意，一个子簇是通过取多项式零点集并与X相交而形成的。这本质上是一个“全局”的东西。拓扑上变形的形状在某种意义上是一个“局部”的东西。

所以如果这两个不同的数学分支之间有很好的联系，我们应该感到惊讶。

霍奇猜想

在这一点上，我们可以给出的霍奇猜想最简单的表述是：

在

中，给定某个环[A]，是否存在一个k维子簇Y来表示[A]？我们称这样的子簇为[A]的代数代表。

让我们把它解剖一下。回想一下，A可能是奇形怪状的，它是一种基本的拓扑结构，绕着x中的一个孔。

有没有办法把A“变形”成一个由多项式方程定义的“漂亮”形状？

如果你认为答案显然是肯定的，那么你可能没有领会到作为一个子簇是多么强大和受限。如果你认为答案显然是否定的，那么你可能无法理解在不改变A的类的情况下，我们可以做多少变形。

记住，我们在复数上面，所以每个子簇都是偶维的。例如，这意味着

中没有代数代表。

但即使我们把自己限制在维度上，还有一个技术条件会带来问题。

如果你仁爱的冰棍猜想，标准的表述方式涉及上同调而不是同调，所以只有上标，没有下标。事实证明这些只是对偶概念。如果X有（实）维度n，那么我们可以把Hₖ(X，ℚ)中的[A]看作是Hⁿ⁻ᵏ(X, ℚ)中的一个类。

这样做的原因之一是上同调可以用微分形式来解释。这意味着我们可以用积分来进行数值计算。

在我们对X的假设下，上同调有一个很好的分解，叫做霍奇分解。它甚至使用调和函数。以4为例：

H⁴(X, ℂ)可以分解为(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)和(4,0)。中间部分由称为qxdds的形式组成。

一个使用一些技术机制的相当简单的计算表明，任何子簇[Y]必须落在中间的那块上。换句话说，每个子簇都是一个qxdds。

例如，如果X是6维的（复数意义上的），而Y是二维的子簇，则[Y]属于 H⁸(X, ℚ)的(4,4)部分。

如果所有这些都有点多，就把这看作必须满足的一个额外的“数字条件”。因为每个子簇都是qxdds，我们知道霍奇猜想的简单表述版本是不正确的，因为我们只取一个非零的非qxdds。

霍奇猜想的正确版本是：每一个qxdds都是代数的。换句话说，我们可以选任何一个霍奇的类，不管它有多怪异，我们都可以把它变形成一个子簇。

一些进展

事实证明霍奇猜想在低维空间中是正确的。这是由Lefschetz在1924年证明的，而霍奇猜想是1950年提出来的。在过去的几年里，也有一些其他的维度被证明，但都是在非常强大的额外假设下。

你可以想象有人做了一个天真的猜想，然后有人指出实际上子簇都是qxdds。然后有人说，我想知道是不是所有的qxdds都是代数的。

然后在1961年，Atiyah和Hirzebruch证明了积分版本是错误的。于是人们说，我想知道我们是否可以用Q代替Z，如果这是真的。这就是我们今天所处的处境。

与黎曼假说不同，霍奇猜想似乎是一项正在进行中的工作，在经过几次改进后陷入了困境。我们甚至不知道当X是4维且由一个多项式方程给出时它是否成立。