11.7 极值和鞍点

多元函数的最大值需要通过函数的偏导数来求解，也是多元微分学的重点。 在工程应用中，例如平面热金属上的最高温度是多少？ 位置在哪里？ 给定函数曲面的最高点如何达到？ 这些需要考察函数的偏导数来求解。

但是，首先回顾一下求出原函数极值的步骤，由于可微函数(平滑曲线)是连续的，极值在f'(c )=0、区间的端点或者一个以上的点上可能不微小，这些点被添加到考察的范围中

二元函数也类似于这种东西。 极值点可能出现在区域边界点或两个偏导数为0的内点或一个或两个偏导数不存在的地方。

让我们来区分

二元函数的局部极值

二元函数中的这些点是局部最大、局部最小或全局最大、全局最小。 请看以下视频所示的：

与局部最大值对应的函数曲面的山和与局部最小值对应的谷。 关于这一点，切平面存在时一定是水平的。 和单项函数一样，可以用一阶导数判别法判断局部极值。

但是，请注意上述定理的极限.不适用于定义边界点具有极值且可能具有非零导数的边界点.另外，也不适用于不存在fx和fy的地方.

这样，只有函数f极值的点是临界点或边界点。 一元函数是指存在拐点的一元，二元可微函数是指可能存在鞍点。

观察以下两个图形中的鞍点：

观察以下函数x￣2y￣2的鞍点(红点)，该函数没有局部极值。

上面的定理是，d(a，b ) 0时，曲面向任何方向都同样弯曲。fxx0时，向下，发生局部极大。 在fxx 0的情况下，朝向上方，发生局部的极小；

d(a，b ) 0的情况下，有曲面的方向向上，某方向向下，会产生鞍点。

黑森矩阵(Hessian matrix )为下一矩阵形式，其行列式为上判别式。