在工程问题上，研究连续函数的性质是很重要的。 它有助于在我们可以接受的范围内给出高阶方程的近似解。 所以研究一下吧！ 尽量用图解来提高阅读体验。

既然说要研究闭区间上连续函数的性质，那么以下性质一定离不开这两个条件：闭区间和连续函数

一.最值定理（了解）

内容：如果函数f(x )在闭区间(a，b )中连续，则f ) x )在) a，b )中一定能够取最大最小值

思考：为什么要关闭区间和连续函数这两个条件？

分别讨论吧！

1 .为什么需要闭区间这个条件？

那么，我改成开区间的话，会怎么样呢？

m是函数在(a，b )中的最大值，b1是最小值

如果是开区间的话，如图所示的情况下不能取最小值！

2 .为什么需要连续函数这个条件？

举个例子就知道了

，这样在一定区间有间断点的函数(不连续)没有最大值。

二.零点定理（重要）

内容：至少存在一点a，b )，以使函数f(x )在闭区间(a，b )中连续，且在f ) f ) b ) 0的情况下，f ) )) )为0。

为什么至少存在一点a，b )，并且f()=0呢？

画画就清楚了。

由图可知，零点可以存在多个，因此为了使f()=0，可以说) ) a，b )至少存在一点。

应用：用二分法求解高阶方程式的近似解(无限接近正确解的过程)。

5次及5次以上的方程式中没有根式解，工程学问题中一般用二分法来求解方程式的近似解。

三.介值定理（由零点定理基础上推导而来）

内容：如果函数f(x )在闭区间(a，b )中连续，且f ) a )不等于f ) b )，则在f ) a )和f ) b )之间的任意一个常数c中，至少存在一点(a，b )

如图所示表现：

为什么媒介值定理是根据零点定理导出的呢？

让我们利用零点定理：

创建辅助函数f(x )=f ) x )-C

为什么是这样的构造？

给你一张能直观感受到这种变化的图：

左图为f(x )图，右图为f ) x )=f ) x )-C图

这样就可以转换成零点定理可以处理的函数了。

如果f(x )在[a，b]上连续，且c在f ) a )和f ) b )之间，则f ) x )在[a，b]上连续，并且f ) a ) *f ) b ) 0

当用f(x )-f )-C替换时，[f(a )-c]*[f(b )-c]0.从零点定理可以看出，至少存在一点f() (a，b )，且f )=0

是的，谢谢你仔细阅读[笑]