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1.1.2空间矢量的数量积运算
【学习目标】
学科素养
1 .理解空间矢量角度的概念和表现方法。
2 .掌握两个向量数量积的概念、性质和运算律。 ((重点) () ) ) ) ) )。
3 .用数量积证明垂直，可以求出角度和长度。 ()重点、难点) ) ) )。
【自主学习】
1 .空间矢量的角度
(1)已知两个非零的矢量a、b，在空间上取任意点o，(OA )=a，) ) ob )=b时，AOB被称为矢量a、b，并被表示出来。
(2) a、b为非零矢量，〈a、b〉=〈b、a〉，a和b所成的角的范围在〈a、b〉=0时为a和b； 〈a，b〉=时，为a和b； 〈a，b〉=2()时，a和b .相反，在ab时，〈a，b〉=； 如果是ab的话，〈a，b〉=。
2 .空间矢量的数积
(1)概念：已知非零的两个向量a、b时，称为a、b的数量积，用a ) b表示。 也就是说，a ) b=|a|b|cos〈a，b〉。
)投影向量：将向量a投影到向量b上，得到c=|a||b|cos〈a，b〉=。 矢量c被称为矢量a在矢量b上的投影矢量。
(3)性质
b，|a|2=，|a|=，cos〈a，b〉=
4 )运算法则
(a ) b )、a ) b ()交换律).a ) (b c )=分配律)。
特别注意：不满足结合律(pgddxtg )。
【小试牛刀】
1 .判断错误
(1)在非零矢量a、b为共线且同方向的矢量的情况下，为a(b=|a||b|. ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。
2 )对于向量a、b、c，(pgddxtg (.) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。
(3)对于任意的矢量a、b，满足|一心一意的奥特曼||b|. ) )
4 )对于非零矢量b，从a(b ) b ) c开始，a=c.) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。
2 .对于向量a、b、c和实数，以下命题中的真命题是()。
如果a.ab=0，则a=0或b=0
如果=0，则=0或a=0
在a2=b2的情况下，a=b或者a=-b
如果ab=ac，则b=c
【经典例题】
问题型积的计算
注意： (1) a、b的模型以及a和b所成的角是已知的，直接代入数量积式进行计算。
)2)求a和b多项式形式的数量积时，可以使用数量积的运算法则展开多项式后，再使用a(a=|a|2和数量积的公式进行计算。
如例1所示，在棱锥长度为1的正四面体ABCD中，e、f分别为AB、AD的中点，求出
：(1)→(EF)·→(BA)； (2)→(EF)·→(BD)； (3)→(EF)·→(DC)； (4)→(AB)·→(CD).
[跟踪训练] 1 已知正四面体O—ABC的棱长为1.
求：(1)→(OA)·→(OB)； (2)(→(OA)＋→(OB))·(→(CA)＋→(CB))；
(3)|→(OA)＋→(OB)＋→(OC)|.
题型二 用数量积证明垂直问题
注意：（1）证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
例2 如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.
[跟踪训练] 2已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系
为_______．(填“平行”或“垂直”)
【参考答案】
【自主学习】
1.（1）夹角 〈a，b〉（2）[0，π] 方向相同 方向相反 互相垂直 0或π 2(π).
2. （1）|a||b|cos〈a，b〉 （2）（3）kkdmd||b|(a·b)（4）(烂漫的睫毛/p>
【小试牛刀】
1.√ × √ ×
2．B 【解析】 对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．
【经典例题】
例1 解 (1)→(EF)·→(BA)＝2(1)→(BD)·→(BA)＝2(1)|→(BD)||→(BA)|·cos〈→(BD)，→(BA)〉＝2(1)cos 60°＝4(1).
(2)→(EF)·→(BD)＝2(1)→(BD)·→(BD)＝2(1)|→(BD)|2＝2(1).
(3)→(EF)·→(DC)＝2(1)→(BD)·→(DC)＝2(1)|→(BD)|·|→(DC)|cos〈→(BD)，→(DC)〉＝2(1)cos 120°＝－4(1).
(4)→(AB)·→(CD)＝→(AB)·(→(AD)－→(AC))＝→(AB)·→(AD)－→(AB)·→(AC)＝|→(AB)||→(AD)|cos〈→(AB)，→(AD)〉－|→(AB)||→(AC)|cos〈→(AB)，→(AC)〉
＝cos 60°－cos 60°＝0.