阶乘运算（Factorial）

任意1以上的自然数n次方：

也就是说

下表列出了几个自然数的阶乘值。

359 EN .维基百科. org /维基/Factorial

一百！ 是158位整数

一百！ 这么大的数字到底是怎么算出来的呢？

阶乘的计算

直接求阶乘，需要大量乘法运算，位数太多，计算机也无法显示。 此时，多使用对数法进行阶乘的乘法运算。 例如

编写Python语言代码求出等式右边的值：

导入匹配

digit_num=0.0

财富(100 ) :

digit_num=math.log10(I1) )

打印(数字号) )。

开车去弄

157.97000365471575 (近似值)即

这显示的是100！ 是158位数。 根据对数函数和指数函数的关系，可以反求阶乘值。

以前不理解对数意义的朋友在这里能感受到对数的威力吗？

此外，阶乘还有一个有趣的近似表达式：

斯特林(公式-斯特灵应用程序)

斯特林公式与阶乘曲线的比较

让我们实际验证一下斯特林公式的误差。 将n=100代入上述公式，则得到100！ 9.324847625269343247647647561271787178702387023874564741806292817981536849540460360303086239162752555522276706706755555552766 030303030030303030303030 485726744222550819049228652031041119504096696429434529708431163809342056757648101523406286160085266735172818639831611426620941 6847362850304098552423112 68344207307073067790438191255736013812573265362270229118719

809726115438569410402607630035313046957956392566366745658132452941877904052886947223641749037779513877635612354880691524914259437590327045612488757528210... × 10^157

与我们用对数求得的值之间的误差大约为0.08329%，即万分之8.3，相当精准吧！！！

阶乘的延拓

可以将点(n, n!)即(0, 0!), (1,1!), (2,2!), (3,3!),...在平面坐标系上表示出来。

n!, n=0..4

n!, n=0..6

n!, n=0..10

我们能不能找到一条数学曲线，能够穿越上述所有点(n,n!)呢？找到这样一条曲线的过程就是数学上的解析延拓，从整数域解析延拓到实数域。

伽玛函数

人类恰恰找到了这样一个函数，即伽玛函数（Gamma Function）。伽玛函数的定义如下：

伽玛函数是一个用定积分公式定义的函数，所以求伽玛函数变成了求定积分。不难求得：

进而

伽玛函数与实数域阶层的关系

这些结论我就不做证明了，一方面这些知识可以很便捷地索到，另一也是更重要的方面是，毕竟我的目标不是吓唬大家和显摆自己的学问，而是希望尽可能充分地向大家分享、呈现数学的奥妙、美丽和魅力。

从该等式可以看出，阶乘不就是伽玛函数从实数域降维到整数域的降维函数吗？反之，伽玛函数不正是阶乘序列在从整数域向实数域的延拓吗？

伽玛函数衍生出的一个常数，即为rydpy常数（Fransén–Robinson Constant）：

问题：伽玛函数是阶乘运算的唯一解析拓展函数吗？

答案是否定的，因为满足这样的拓展函数有无数个。如如下函数在横坐标为整数时的值也等于对应的阶乘值：

实数域的阶乘函数

因为

也就是说

用如下方式来表示这个阶乘函数：

该阶乘函数有如下递推性质（从小到大，算正数的阶乘时用到）：

从上面的递推公式，我们可以得到新的递推公式（从大到小，算负数的阶乘时用到）：

我们试着求一下几个非整数实数的阶乘函数值：

根据这个值可以推出其他一系列值：

这π(x)就是实数域阶乘函数的一个合理定义公式。阶乘函数y=π(x)=x!的曲线如下图：

我们发现上述阶乘函数在负整数处不连续，即不收敛，与我们计算的结果相符：

最后再求两个特殊的阶乘

其实阶乘还可以延拓到复数域，如

复函数

曲线图如下

(cosx+isinx)!的曲线图

人家在何许？云外一声鸡