我们初中讲二次方程的时候都学过axdhm。而且我做过很多和它相关的难题，相信朋友们还记得。但是axdhm只讨论了二次方程的根和系数之间的关系，那么高阶方程的根和系数之间是否存在类似的关系或定理呢？当然有。今天我们来讨论一下这个问题。
Axdhm在
1.axdhm回顾
初中课本中是这样描述的：
有时候，为了形式简单，我们直接把二次系数消去为1，于是就变成了下面这个样子：
利用axdhm，我们可以在不知道精确解的个数的情况下得到方程解的一些性质。有很多有趣的话题，比如，让我给你举个例子：
方法是先用axdhm求出两个根之和与两个根之积的值：
然后把问题中的所有表达式写成关于两个根之和和两个根之积的表达式，就可以得到最终的答案了：
大卫定律如此优美简洁，其证明过程也非常简单。为了理解以下内容，让我们首先回顾一下它的证明过程。
然后将括号打开成以下形式：
然后将A乘以括号：
与原方程相比，相应的系数相等，即：
然后得到：
了解了axdhm的证明过程，我们再来简单看一下数学家大卫。大卫于1540年出生在法国的波瓦图。当时还没有真正的职业数学家。许多人出于自己的爱好学习数学。我们熟悉的法国数学家费马，被称为“业余数学之王”。其实，大卫也是这样的人。他当过律师，当过议员，从事过政治活动，只利用业余时间学习数学。即便如此，他还是对数学做出了巨大的贡献。
吠陀(维耶塔，1540-1603)
大卫的主要贡献体现在代数上。回想一下，我们在小学做的是数字之间的运算，到了中学开始用字母代替数字来执行字母之间的运算，这就是所谓的符号代数。大卫是数学史上第一位有意识、有系统地用字母来表示已知数字、未知数及其运算的数学家。所以他是符号代数的开创者，而今天的初中数学长这样，主要得益于他。
大卫一生出版了许多数学著作，如
1579年出版的《应用于三角形的数学定律》，探讨了三角函数方面的问题。1591年出版了《分析方法入门》，提出了符号代数的思想。而在他去世后出版的《论方程的识别与订正》中，提出了著名的axdhm。韦达于1603年逝世，在欧洲被尊为“代数学之父”。
2.高次axdhm
那么我们如何来推广到高次方程呢？首先明确一下，我们讲的高次方程指的是如下形式的方程：
根据代数学基本定理，在复数域内它一定有n个根，重根重复计算。假设这n个根分别为：
于是我们同样可以把原方程写成如下形式：
同样地，我们把括号拆开，然后与原式子做对比。首先最明显的，x的n次方系数就是an，这与原式是一样的。
下面我们来看x的n-1次方的系数。
来仔细分析一下，一共有n个括号，把它们乘在一起的时候，要想得出x的n-1次方，则需要有n-1个括号出x，剩下一个括号出常数项。而每一个括号里面都有一个常数项，分别是-x1，-x2，...，-xn，因此就有n种不同的可能，把这n种可能加在一起合并同类项，考虑到最前面的数字an，就得到x的n-1次方的系数为：
与原方程x的n-1次方的系数相比较，就有：
于是我们得到：
这就是所有根之和的表达式。
下面我们考虑括号拆开以后的常数项。常数项很简单，就是把每个括号里面的常数都提出来乘在一起就可以了：
和原方程作比较
于是就有
这样就得到了所有根之积的表达式。总结一下，高次axdhm就是
所以，我们所熟悉的axdhm就是上面这个式子的特殊情况。
3.进一步发展
故事到这里就结束了吗？并没有。上面只是考虑了x的n-1次方和常数项，但是还剩下很多东西呀，x的n-2次方，n-3次方，等等等等，如果我们考虑这些项的系数，又会得到什么结果呢？
我们考虑x的n-2次方的系数，要想出来x的n-2次方，我们需要有n-2个括号出x，剩下两个括号出常数，这时就需要用排列组合的知识了，n和里面选2个，让这两个出常数，剩下的全出x。那把所有这样的选法加在一起，就可以得到x的n-2次方的系数：
再与原方程相比较可以得到：
这同样是一种根与系数的关系。
继续下去，当我们考虑x的n-3次方的时候就会有
如此等等，我们可以得到一系列的式子。这其实就是更广泛意义上的axdhm了。
4.对称多项式
在上面对axdhm进行拓展的过程中，我们会发现出现了如下形式的式子：
这些式子的共同点就是所有的变量都轮着来一遍，而且地位都相同，有些小伙伴可能已经猜到了，这就是所谓的轮换多项式。
当然数学家们研究了一类更广泛意义的多项式——对称多项式，它的定义如下：
简单来说，对称多项式指的就是，任意两个自变量交换位置之后得到的结果仍然一样的多项式。
可以看出，上面出现的那几个式子都是对称多项式，并且它们的次数分别是1次，2次，...，n次。我们将它们称为初等对称多项式。
那么为什么叫它们初等对称多项式呢？是因为我们还有更复杂的对称多项式，但是不管多么复杂，它都可以表示成若干个初等对称多项式做加减法与乘方的组合。
或者一句比较绕嘴的话来说，任何一个对称多项式都是若干个初等对称多项式的多项式，这个结论被称为对称多项式基本定理。
因此我们只需要把所有初等对称多项式研究清楚就可以了。而从推广的高次axdhm可以看出，对于任意一个代数方程，我们都可以利用其根与系数的关系，找到所有初等对称多项式的取值。因此很多问题就可以迎刃而解。
二重积分的计算
对称多项式在很多地方可以大大地简化运算。比如在高等数学中，计算重积分，曲线积分和曲面积分的时候，利用函数的对称性可以使积分式子变得非常简单，因此研究对称多项式也是代数领域一个很重要的问题。