作者帕拉德普梅农
原始https://towards data sciences.com/data-science-simplified-part-7-log-log-回归-模型-499 ECD 1495 F0
翻译交谈数据害羞的龙猫
在本系列中，我们讨论了简单线性回归模型、多元回归模型和选择正确模型的方法。
费尔南多现在已经做出了一个很好的模型。
价格=-55089.98 87.34 engineSize 60.93马力770.42宽度
不过，费尔南多还是有一些考虑：
如何用常用的比较单位来估算价格变动？发动机尺寸、zxdhs、宽度对应的价格变化弹性有多大？在本文中，我们将解决这些问题。本文将介绍对数回归模型。
概述为了理解对数回归模型，我们首先需要了解导数、对数和指数的概念，然后了解弹性的概念。
* *导数：*导数是表达变化的一种方式——函数在给定点的变化。
如果变量y是x的函数，那么y定义为：
y=f(x)
那么x在y中的导数表示为：
dy/dx=df(x)/dx=f'(x)
这个表达的意思如下：
y的变化相对于x的变化，即如果x变化，y会变化多少？
这正是费尔南多所需要的。他想知道的是价格相对于变量的变化。
以前的多元回归模型的一般形式如下：
也就是说，费尔南多建立了以下模型：
价格=0 1。发动机尺寸，即价格是发动机尺寸的函数。
费尔南多模型的主要目标是预测汽车的价格，其价格取决于发动机的大小，其模型只是表达了发动机大小的变化对应价格变化的规律。
然而，情况可能并非如此。线性模型假设数据是线性的，如下所示：
y=mx c
如果计算y上的导数，将给出以下结果：
dy/dx=m . dx/dx dc/dx
相对于发动机本身的变化，其值始终为1，例如dx/dx=1。
常数相对于任何事物变化的导数总是0，因为它是常数，例如，dc/dx=0。
然后公式变成：
dy/dx=m
将价格导数应用于发动机尺寸将只涉及与发动机尺寸相关的系数。
面对这种情况，我们必须想办法改变它，那么我们来看看指数和对数。
索引：
指数是有两个算子的函数，基(b)和指数(n)，定义为b ^ n，其形式如下：
f(x)=b^x
基数可以做成任意正数，欧拉数(e)是统计学中最常用的基数。
几何上，指数关系具有以下结构：
x的增加不会导致y的相应增加，直到达到一定的阈值，x每增加一点，y就会迅速上升。
对数：
对数是一个有趣的符号。在回归模型中，对数具有个性化特征，对数的基本属性是其基数，对数的典型基数是2、10和e。
示例：
2乘以多少等于8？222=8答案是3。也可以表示为log2(8)=3。可以理解为以2为底的8的对数是3。
对数还有另一个常见的基数，叫做欧拉数(E)，其近似值为2.71828，常用于统计学。e低的对数称为自然对数。
对数也有很好的变化能力。对数可以把指数关系演变成线性关系。例如，下图显示了Y和X之间的指数关系：
如果对数应用于x和y，则log(x)和log(y)之间的关系是线性的。看起来是这样的：
mg.com/origin/pgc-image/1532500032979d31c8cd77a?from=pc">弹性：
弹性是衡量一个经济变量对另一个经济变量的响应程度。假设我们有一个函数：Q = f（P）那么Q的弹性定义为：
E = P/Q x dQ/dP
dq/dP是P中Q变化的平均变化
**结合在一起： ** 现在让我们把这三个数学角色放在一起，导数、对数和指数。他们的结合规则如下：
e的对数是1，即log（e）= 1
指数的对数是指数乘以基数
log（x）的导数是：1 / x
设想一个函数y表示，如下：
y = b^x
=> log(y) = x log (b)
那么这是否意味着是线性回归模型？我们可以做数学演化以利用导数、对数和指数吗？我们是否可以重写线性模型方程来找出x的变化率呢？
首先，让我们将y和x之间的关系定义为指数关系。y = α x^β首先将其表示为log-log的函数：log（y）= log（α）+β.log（x）方程y = α x^β看起来并不像是回归模型：Y =β0+β1，其中β0= log（α），β1=β。这个等式现在可以重写为：log（y）=β0+β1.log(X1)但是如何表达弹性关系呢？我们取log(y)和x的导数，得到如下结果：
d. log(y)/ dx = β1. log(x1)/dx=> 1/y . dy/dx = β1 . 1/x => β1 = x/y . dy/dxβ1的方程是弹性。构建模型
搞清楚了这些概念后，费尔南多重新构建了一个模型，如下：
log(价格) = β0 + β1. log(发动机大小) + β2. log(zxdhs) + β3. log(宽)
他希望根据发动机尺寸，zxdhs和宽度的变化来估算汽车价格的变化。
费尔南多最终得到了如下的参数：
该模型的方程是：
log(价格) = -21.6672 + 0.4702.log(发动机大小) + 0.4621.log(zxdhs) + 6.3564 .log(宽)
以下是该模型的解释：
所有系数都很重要调整的R平方为0.8276，说明该模型解释了数据变化的82.76%如果发动机尺寸增加4.7％，那么汽车价格将上涨10％如果zxdhs增加4.62％，那么汽车价格将上涨10％如果汽车的宽度增加6％，那么汽车的价格将增加1％模型评估
费尔南多现在已经建立了对数回归模型。他评估模型在训练和测试数据上的表现。
回想一下，他已经将数据分成了训练和测试集，训练数据用于创建模型，测试数据是不可见的数据。测试数据的性能是真正的考验模型的地方。
在训练数据上，模型表现相当好,调整的R平方为0.8276，说明该模型可以解释82.76％的训练数据变化。为了使模型可以最终被接受，还需要在测试数据方面表现良好。
费尔南多测试测试数据集的模型性能，该模型计算测试数据的调整R平方为0.8186。这意味着即使对于看不见的数据，模型也能解释81.86％的变化。
请注意，该模型估计log(价格)，而不是汽车的价格。要将估计的log(价格)转换为价格，需要进行转换。
转换是将log(价格)作为基础e的指数。e^log(价格)= 价格
结语
统计学习奠定了基础，假设检验讨论了空假设和替代假设的概念，简单的线性回归模型使回归简单，然后，进入多元回归模型的世界，然后讨论模型选择方法。在这篇文章中，讨论了对数回归模型。
到目前为止，构建的回归模型只有数值独立变量。下一篇文章将讨论相互作用和定性变量的概念。
相关阅读：
简明数据科学 第一部分：原则与过程
简明数据科学 第二部分：统计学习的关键概念
简明数据科学第三部分：假设检验
简明数据科学 第四部分：简单线性回归模型
简明数据科学 第五部分：多元回归模型
简明数据科学 第六部分：模型选择方法