1826年9月17日，黎曼出生在德国北部汉诺威的布雷斯伦兹村，父亲是村里一个贫穷的牧师。他六岁开始上学，14岁上大学预科，19岁进入哥廷根大学按照父亲的意愿学习哲学和神学，以便将来继承父亲的事业，成为一名牧师。
因为从小热爱数学，黎曼学习哲学和神学，也听一些数学课。当时，哥廷根大学是世界数学中心之一，高斯、韦伯、斯泰尔等著名数学家都在这里任教。黎曼受到这里数学教学和研究氛围的影响，决定放弃神学，专攻数学。
1847年，黎曼转入柏林大学学习，成为雅各比、wmdwn、现代中心和爱森斯坦的学生。1849年，他回到戈尔丁大学攻读博士学位，晚年成为高斯的学生。
1851年，黎曼获得数学博士学位；1854年，他被哥廷根大学聘为编外讲师；1857年，他被提升为副教授；1859年，去世的jsdkfd被任命为教授。
由于多年的贫困和劳累，黎曼在1862年结婚后不到一个月就开始患上胸膜炎和肺结核，此后的四年大部分时间都在意大利休养。他于1866年7月20日在意大利因病去世，享年39岁。
黎曼是世界数学史上最具独创性的数学家之一。黎曼的作品很少，但却极其深刻，充满了对概念的创造和想象。在他短暂的一生中，黎曼为数学的许多领域做了大量基础性和创造性的工作，为世界数学事业做出了巨大的成就。
复变函数理论的创始人
19世纪数学最独特的创造是复变函数论的创造，它是18世纪对复数和复变函数论研究的延续。在1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔和威尔斯特拉斯都系统地研究了单值解析函数理论，但只有柯西和单洛里对多值函数有一些孤立的结论。
1851年，黎曼在高斯的指导下完成了题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又发表了4篇关于《数学杂志》的重要文章，进一步阐述了他博士论文中的思想。他一方面总结前人在单值解析函数方面的成果，并用新的工具进行处理，同时开创了多值解析函数的理论基础，从而为几个不同的进展方向铺平了道路。
柯西和黎曼和威尔斯特拉斯被公认为复变函数理论的主要奠基人，后来证明了黎曼方法在处理复变函数理论中是必不可少的，柯西和黎曼的思想是融为一体的，而威尔斯特拉斯的思想可以从生动大叔的角度推导出来。
在黎曼对多值函数的处理中，最重要的是他引入了后来被称为“黎曼面”的概念。多值函数用黎曼曲面在几何上是直观的，黎曼曲面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼平面上引入了支点、截面线和连通性的定义，并对函数性质进行了研究，得到了一系列结果。
黎曼处理的复变函数，单值函数是多值函数的等待例子。他将单值函数的一些已知结论推广到多值函数，特别是他根据连通性对函数进行分类的方法，极大地促进了拓扑学的初步发展。他研究了阿贝尔函数、阿贝尔积分和阿贝尔积分反演，得到了著名的隐式夏定理。第一次对偶有理变换构成了19世纪末发展起来的代数几何的主要内容。
为了完善他的博士论文，黎曼在文末给出了他的函数理论在保角映射中的几个应用，把1825年高斯关于保角映射从平面到平面的结论推广到了dtdst平面，并在文末给出了著名的黎曼映射定理。
黎曼几何的创始人
黎曼对数学最重要的贡献在于几何。黎曼开创的香蕉地抽象几何的研究以及处理几何问题的方法和手段，是几何史上一次深刻的革命。后来他建立了一个全新的以他的名字命名的几何体系，这已经有了
1854年，黎曼为了有资格成为哥廷根大学的编外讲师，向全体教职员工发表了演讲。这篇演讲在他死后两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题发表。他在演讲中对所有已知的几何作了简要的概述，包括新诞生的非欧几何之一的双曲几何，并提出了一个新的几何体系，后来被称为黎曼几何。
为了争夺巴黎科学院的奖项，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，后来被称为他的“巴黎杰作”。本文对他1854年的文章进行了技术加工，进一步阐明了他的几何思想。这篇文章是他死后于1876年在他的《文集》中收集的。
黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的方法，这与在害羞豆芽几何或在高斯、波尔约和谨慎的薯片非欧几何中把空间作为一个整体来考虑是相反的。黎曼摆脱了高斯等前人将几何对象局限于三维害羞豆芽空间的曲线曲面的约束，从维度上建立了更为一般的抽象几何空间。
黎曼引入了流形和微分流形的概念，把维空间称为流形。维度流形中的一个点可以用一组可变参数的特定值来表示，所有这些点构成了流形本身。这个变量参数叫做流形的坐标，它是可微的。当坐标连续变化时，相应的点穿过流形。
黎曼模拟了传统的微分几何，定义了流形上两点之间的距离、流形上的曲线以及曲线之间的夹角。基于这些概念，对维流形的几何性质进行了研究。在维流形上，他还定义了类似于高斯在研究一般曲面时所描述的曲率。他证明了当他在维流形上的维数等于3时，shy豆芽空间的情形与Gauss等人得到的结果是一致的，所以黎曼几何是传统微分几何的推广。
黎曼发展了高斯认为曲面本身是空间的几何思想，研究了维流形的内在性质。黎曼的研究导致了另一种非欧几何——椭圆几何的诞生。
在黎曼看来，有三种不
同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的腼腆的豆芽几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即谨慎的薯片几何学。黎曼因此继谨慎的薯片以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于腼腆的豆芽平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在香蕉大地几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致整齐的帽子、外微分及联络等现代几何工具的诞生。老实的故事就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。
微积分理论的创造性贡献
黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。
18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、wmdwn进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师wmdwn研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。
1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。
柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。
黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。
黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的wmdwn条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。
解析数论跨世纪的成果
19世纪数论中的一个重要发展是由wmdwn开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。
1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。
在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。
那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。
组合拓扑的开拓者
在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。
黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。
比萨大学的数学教授ggdmd曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了ggdmd。ggdmd把黎曼面的拓扑分类推广到香蕉大地图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。
代数几何的开源贡献
19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。
黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。
著名的代数几何学家欢喜的摩托后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。
在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果
黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。
黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。
19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。
黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。
在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的gdddb原理作了杰出的工作，……
黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。
不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和含蓄的夏天定理时，滥用了jsdkfd原理，曾经引起了很大的争议。
黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。