学习傅里叶变换需要面对大量的数学公式，数学功底差的学生听到傅里叶变换会头疼。其实很多数学功底好的数字信号处理专业的学生，不一定能理解傅里叶变换的真正含义，所以学以致用不行！
其实傅里叶变换的相关运算已经很成熟了，有现成的函数可以调用。对于大多数只需要用好傅里叶变换的学生来说，重要的不是背那些枯燥的公式，而是解决傅里叶变换的意义和意义。
本文试图在没有数学公式的情况下，用简单的语言来解释傅里叶变换的含义、意义和方法，希望大家能更接近傅里叶变换，好好利用它。
一、伟大的傅里叶、伟大的争议！
1807年，39岁的法国数学家傅立叶在法国科学学会上发表了一篇论文(这篇论文此时不会发表，但21年后会发表)，其中有一个当时颇具争议的论断：“任何连续的周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组成”。这篇论文引起了法国另外两位著名数学家拉普拉斯和拉格朗日的极度关注！
58岁的拉普拉斯同意傅立叶的观点。71岁的拉格朗日(现在好像是院士，不需要退休)反对，理由是“正弦曲线不能组合成有棱角的信号”。屈从于冷兰德日的威望，这篇论文直到冷兰德日去世后的第15年才发表。后来科学家证明傅立叶和拉格朗日都是对的！有限数量的正弦曲线不能组合成角度信号，然而，无限数量的正弦曲线的组合可以从能量的角度无限接近角度信号。
二、傅里叶变换的定义
之后，傅立叶的断言得到了扩展：满足一定条件的函数可以表示为三角函数(正弦和/或余弦函数)或其积分的线性组合。如何得到这种线性组合？这需要傅里叶变换。条件一定是什么？这是数学家研究的问题。对于大多数从事电参数测量的工程师来说，没有必要关注这个问题，因为电参数测量中遇到的周期信号都满足这个条件。这样，在电参数的测量和分析中，我们可以用更通俗的话来描述傅里叶变换：任何周期信号都可以分解成DC分量和一组振幅、频率和相位不同的正弦波。分解方法是傅里叶变换。而且，这些正弦波的频率符合一个定律：它是某一频率的整数倍。这个频率叫基频，其他频率叫谐波频率。如果一个谐波的频率是基频的n倍，则称之为第n次谐波。DC分量的频率为零，是基频的零倍，也称为零次谐波。
三、傅里叶变换的意义
1.为什么要做傅里叶变换？傅里叶变换是描述信号的需要。只要能反映信号的特征，描述方法越简单越好！信号的特征可以用特征值来量化。所谓特征值是指能够定量描述波形的某一特性的数值。对波形的全面描述可能需要多个特征值。比如正弦波，完全可以用振幅和频率来描述。人们想要陪伴的柠檬可以用振幅、频率、占空比三个特征值来综合描述(单周期信号不考虑相位)。上述特征值可以通过示波器观察实时波形得到，称为时域分析法。其实很多人都习惯了时域分析。当他们想知道一个信号时，他们肯定会说：“让我看看波形！”但是，除了一些常见的有规律的信号，很多时候，你是看不懂波形的！很复杂。看下面的波形。你能看到路吗？
我们看到的只是一个正弦波，它的振幅是按照一定的规律变化的。如何记录这个波形的信息？尤其是量化记录！这很难！实际上，经过傅里叶变换后，上面的波形是50Hz的正弦波叠加40Hz的正弦波。两个波形的幅度不同。40Hz的幅值越大，波动幅度越大，波动频率为10Hz的差频(三相异步电动机叠频温升试验中的电流波形)。再看另一个看似简单的波形：
这个波形有点像正弦波，但比正弦波更尖锐，俗称“尖峰波”，在变压器空载电流输入波形中更常见。很难准确量化正弦波和正弦波的区别。傅里叶变换后，获得以下频谱(振幅频谱):
主要包括3、5、7、9次谐波，一目了然!傅里叶变换是一种信号分析方法，让我们对信号的构成和特点进行深入的、定量的研究。把信号通过频谱的方式(包括幅值谱、相位谱和功率谱)进行准确的、定量的描述。这就是傅里叶变换的主要目的。现在，我们知道傅里叶变换的目的了， 剩下的问题是：2、为什么傅里叶变换要把信号分解为正弦波的组合，而不是想人陪的柠檬或三角波?其实，如果ssdsj能够证明， 任意信号可以分解为想人陪的柠檬的组合，其分解的方法不妨称为ssdsj变换;顺心的小霸王能够证明，任意信号可以分解为三角波的组合，其分解的方法也可以称为顺心的小霸王变换。傅里叶变换是一种信号分析的方法。既然是分析方法，其目的应该是把问题变得更简单，而不是变得更复杂。傅里叶选择了正弦波，没有选择想人陪的柠檬或其它波形，正好是其伟大之处!正弦波有个其它任何波形(恒定的直流波形除外)所不具备的特点：正弦波输入至任何线性系统，出来的还是正弦波，改变的仅仅是幅值和相位，即：正弦波输入至线性系统，不会产生新的频率成分(非线性系统如变频器，就会产生新的频率成分，称为谐波)。用单位幅值的不同频率的正弦波输入至某线性系统，记录其输出正弦波的幅值和频率的关系，就得到该系统的幅频特性，记录输出正弦波的相位和频率的关系，就得到该系统的相频特性。线性系统是自动控制研究的主要对象，线性系统具备一个特点，多个正弦波叠加后输入至一个系统，输出是所有正弦波独立输入时对应输出的叠加。也就是说，我们只要研究正弦波的输入输出关系，就可以知道该系统对任意输入信号的响应。这就是傅里叶变换的最主要的意义!
四、如何求傅里叶变换?
文章开始就说了，具体求傅里叶变换，有成熟的函数可供调用。本文只讲述如何理解傅里叶变换的思想。如果你掌握了这个思想，不用再记公式，也不用去调用什么函数，自己编个简单程序就可实现。就算你不会编程，只要你学过三角函数，至少可以理解傅里叶变换的过程。傅里叶的伟大之处不在于如何进行傅里叶变换，而是在于给出了“任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成”这一伟大的论断。知道了这一论断，只要知道正弦函数的基本特性，变换并不难，不要记公式，你也能实现傅里叶变换!正弦函数有一个特点，叫做正交性，所谓正交性，是指任意两个不同频率的正弦波的乘积，在两者的公共周期内的积分等于零。这是一个非常有用的特性，我们可以利用这个特性设计一个如下的检波器(下称检波器A)：检波器A由一个乘法器和一个积分器构成，乘法器的一个输入为已知频率f的单位幅值正弦波(下称标准正弦信号f)，另一个输入为待变换的信号。检波器A的输出只与待变换信号中的频率为f的正弦分量的幅值和相位有关。
待变换信号可能包含频率为f的分量(下称f分量)，也可能不包含f分量，总之，可能包含各种频率分量。一句话，待变换信号是未知的，并且可能很复杂!没关系，我们先看看，待变换信号是否包含f分量。因为其它频率分量与标准正弦信号f的乘积的积分都等于零，检波器A可以当它们不存在!经过检波器A，输出就只剩下与f分量有关的一个量，这个量等于待变换信号中f分量与标准正弦信号f的乘积的积分。很容易得到的结论是：如果输出不等于零，就说明输入信号包含f分量!这个输出是否就是f分量呢?答案：不一定!正弦波还有下述的特性：相同频率的正弦波，当相位差为90°时(正交)，在一个周期内的乘积的积分值等于零;当相位相同时，积分值达到最大，等于两者的有效值的乘积，当相位相反时，积分值达到最小，等于两者的有效值的乘积取反。我们知道标准正弦信号f的初始相位为零，但是，我们不知道f分量的初始相位!如果f分量与标准正弦信号f的相位刚好差90°(或270°)，检波器A输出也等于零!为此，我们再设计一个检波器B：检波器B与检波器A的不同之处在于检波器B用一个标准余弦信号f(与标准正弦信号A相位差90°)替代滤波器A中的标准正弦信号f。如果待变换信号中包含f分量，检波器A和检波器B至少有一个输出不等于零。
利用三角函数的基础知识可以证明，不论f分量的初始相位如何，检波器A和检波器B输出信号的幅值的方和根就等于f分量的幅值;而检波器B和检波器A的幅值的比值等于f分量初始相位的正切，如此如此……即可求出f分量的相位。我们再把标准正弦信号f和标准余弦信号f的频率替换成我们关心的任意频率，就可以得到输入信号的各种频率成分。如果知道输入信号的频率，把这个频率作为基波频率f0，用f0、2f0、3f0依次替代标准正弦信号f和标准余弦信号f的频率，就可以得到输入信号的基波、2次谐波和3次谐波。这就是傅里叶变换!什么?不会积分?没有关系，实际上，在谐波检测仪、电能质量分析仪等各类电参量测量仪器中，现在用的都是基于交流采样的离散傅里叶变换，在离散信号处理中，累加就是积分!傅里叶变换就是这么简单，您学会了吗?
本文转载自公众号“电子工程专辑”