要理解矩阵积，首先要理解矩阵。
一、什么是矩阵？
在线性代数中，矩阵随处可见，甚至我们一直都在计算矩阵，但是什么是矩阵，为什么矩阵乘积如此规定，这样奇怪的乘法规则在实践中不会引起任何问题。
事实上，矩阵代表一种特定的线性变换。
我们知道线性变换是操纵空间的一种手段。这个变换只用几个数字就能描述清楚，就是变换后的基向量的坐标列。由这些坐标组成的矩阵为我们提供了描述线性变换的语言，所以矩阵就是线性空间中线性变换的描述。
二、矩阵和线性变换
对于线性变换，只要选择一组基，就可以找到描述线性变换的矩阵。改变一组基数，你会得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是同一线性变换的描述，但它们不是线性变换本身。当然，这句话还有一个隐藏的信息：矩阵也可以作为一组基的描述，比如我们最常见的恒等式矩阵I，它的列向量可以看作是一组基，别忘了我们也称矩阵为列向量组或行向量组。
向量是线性空间的基本研究对象。显而易见，要表达一个矢量，需要在一个坐标系中进行测量，然后将测量结果(矢量在各个坐标轴上的投影值)按照一定的顺序罗列在一起，就成为我们通常看到的矢量表示。如果选择不同的坐标系(基础)，矢量的表示会有所不同。向量是同一个向量，选择了不同的坐标系，所以它的表示是不同的。因此，可以合理地说，每次书写矢量表示时，都应该说明该表示是在哪个坐标系中测量的。表达式为马，也就是说有一个向量，在M矩阵表示的坐标系中的测量结果为a，矩阵M表示的坐标系由一组基组成，那组基也是由向量组成的。还有一个问题是这组矢量是在哪个坐标系中测量的。也就是说，一个矩阵的表达式还应该指明它所在的参考坐标系。所谓m其实就是IM，也就是说m中的基群的度量是在I坐标系中得到的。
三.矩阵积
根据上面的透视，MN不是矩阵乘法，而是在M坐标系下测得的另一个坐标系N，其中M本身就是在I坐标系下测得的。从变换的角度看，矩阵乘积表示两个线性变化连续作用。如果把N看作坐标系的一组基，那么MN也可以理解为对构成坐标系N的每个向量应用M变换。
我们知道，矩阵既可以描述变换，也可以描述坐标系。例如，有两种方法可以将点(1，1)更改为点(3，4)。
首先，坐标系是固定的，点是移动的。将点(1，1)移动到(3，4)。
第二，当点固定，坐标系移动时，X轴(单位矢量)的测量值变为原值的1/3，Y轴(单位矢量)的测量值变为原值的1/4，这样点仍然是同一点，但点的坐标变为(3，4)。
方式不同，结果是一样的。第一种方式描述矩阵可以用来描述变换，第二种方式描述矩阵可以用来描述坐标系。
好消息：数学经纬网建立“微信读者群”啦~ ~
搜索微信微信官方账号“数理经纬网”，底部添加二维码加入读者群。
该群旨在为数学爱好者提供一个良好的交流平台，包括数学信息、数学科普、数学通史等。并且还可以积极交流相关的学习问题。