这是《机器学习中的数学基础》系列的第四篇文章。
在上一篇文章中，我们了解到矩阵实际上是一个线性变换，矩阵的每一列都是从原始基向量变换而来的。在此基础上，如果把两个矩阵放在一起，也就是说让两个矩阵相乘，意味着什么？
矩阵乘法让我们从矩阵和向量的乘法开始：
将矩阵乘以一个向量，得到一个新向量。如果我们把新向量乘以一个矩阵呢？获取另一个向量：
将等式(1)代入等式(2)，得到：
我们已经知道矩阵是线性变换。从上面的公式可以看出，两个矩阵的相乘相当于连续的两次线性变换，作用是把一个旧的向量变成一个新的向量。我们不禁要想，一定有一个复合矩阵，它的作用等于两个矩阵相乘。公式是：
显然，我们要找的复合矩阵是两个矩阵的乘积：
有了这个想法，如何计算复合矩阵？别担心，让我们从基地的角度来解决这个问题。
公式[a，b；c，d]由原来的基向量I和j变换而来，我们把它看作新的基(a，c)和(b，d)。然后新的基数乘以矩阵[i，j；什么意思？这相当于分别对新的基进行另一次线性变换。因此，复合基质相当于：
复合矩阵的第一列是矩阵[i，j；k，l]与向量(a，c)的乘积；复合矩阵的第二列是矩阵[i，j；k，l]和向量(b，d)的乘积。扩展上述公式，得到复合矩阵，如下所示：
这是矩阵乘法的定义，我们从另一个角度来理解它的内涵。
行列式接下来，我们来看看矩阵行列式的几何意义。让我们从这里的结论开始。行列式是线性变换前后面积的比例因子。这到底是怎么回事？我们来看看下图：
如图所示，它是由我们的I和J基向量包围的区域。现在我们用矩阵[2，0；0，2]，看看发生了什么变化：
从上图可以很容易地看出，在矩阵的作用下，I是翻倍的，J是翻倍的，所以新的基向量包围的面积是四倍。
因此，矩阵[2，0；0，2]等于4。
哦，也许你还是不明白。没关系。我们把它推广一下，看看行列式公式是怎么来的。二维矩阵行列式的公式如下：
我们用det()来表示矩阵的行列式。上面的公式是怎么来的？让我们画一幅画：
如图所示，OA是新的基向量(a，c)，OC是基向量(b，d)。那么平行四边形OABC就是被两个新的基向量包围的区域。这个面积怎么算？我们可以把它做成长方形，如下图所示：
不难看出，平行四边形的面积等于矩形的面积减去角的面积。矩形的面积是(a b)(c d)。角区由四个三角形和两个小矩形组成，它们的面积为：ac bd 2bc。然后用矩形的面积减去角的面积，就是平行四边形的面积：
(a b)(c d)-(AC BD 2bc)=AC BC ad BD-AC-BD-2bc=ad-BC
而ad-bc就是上面公式的最终结果。
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