矩阵可逆的定义：令A是数域F上的一个n阶矩阵，若存在F上n阶矩阵B，使得
AB=E(E为n阶单位矩阵)
则A为可逆矩阵，并且将A的可逆矩阵
记作A⁻¹，称A⁻¹为A的逆矩阵。
可逆矩阵A的逆矩阵A⁻¹的逆矩阵为A
即(A⁻¹)⁻¹=A
证明：如果矩阵A为A⁻¹的逆矩阵，那么
根据矩阵可逆的定义，我们可以得到下面这个式子
A⁻¹A=E
所以，A为A⁻¹的逆矩阵。
可逆矩阵的性质2如果矩阵A可逆，那么(kA)⁻¹=A⁻¹/k
证明：因为矩阵A可逆，所以AA⁻¹=E
所以，（A⁻¹/k)(kA)=[(A⁻¹/k)k]A
=A⁻¹A=E
所以，(kA)⁻¹=A⁻¹/k
可逆矩阵的性质3如果矩阵A和B都是可逆矩阵，那么
(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹
证明：根据可逆矩阵的定义
(AB)B⁻¹A⁻¹=A(BB⁻¹)A⁻¹
=AEA⁻¹
=AA⁻¹=E
所以，这个等式成立。
可逆矩阵的性质4如果矩阵A可逆，那么(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ
证明：根据可逆矩阵的定义
Aᵀ(A⁻¹)ᵀ=(A⁻¹A)ᵀ=Eᵀ=E
所以，这个等式成立。
可逆矩阵的性质5如果矩阵A可逆，那么(Aᵏ)⁻¹=(A⁻¹)ᵏ
证明：根据矩阵可逆的定义
Aᵏ(A⁻¹)ᵏ=(AA⁻¹)ᵏ=Eᵏ=E
所以，这个等式成立。
矩阵可逆的性质6如果矩阵A是可逆矩阵，那么|A⁻¹|=|A|⁻¹
证明：因为A为可逆矩阵，所以
AA⁻¹=E
从而，|AA⁻¹|=|A||A⁻¹|=|E|=1
进而，|A⁻¹|=1/|A|
即 A⁻¹|=|A|⁻¹