设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵。
证明西尔维斯特不等式：
R(AB)≥R(A) R(B)-n
遇到这种比较多个矩阵秩的问题，最常用的方法就是利用分块矩阵的初等变换。
因为R(AB)≥R(A) R(B)-n，所以
R(AB) n≥R(A) R(B)
R(AB) n为矩阵AB与单位矩阵E组成的分块矩阵H的秩。
矩阵H
R(A) R(B)为矩阵A与矩阵B组成的分块矩阵T的秩。
矩阵T
根据题意我们可以知道矩阵H的秩要大于等于矩阵H的秩。
我们对矩阵H进行初等变换
让矩阵H的第二行乘以矩阵A加到第一行
让矩阵的第二列右乘以矩阵(-B)加到第二列
让矩阵的第一列乘以(-1)
由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，
所以,矩阵H的秩等于矩阵H’的秩。
从而,R(H)=R(H’)
= R(A) R(E)
=R(A) n
=R(AB) n
由于矩阵T的秩为R(A) R(B)
所以，R(T)≤R(A) n
进而，R(T)≤R(H)
所以，R(A) R(B)≤R(AB) n
即，R(AB)≥R(A) R(B)-n