照片信用：拉米科
用每个人都喜欢的超验重新点燃魔力。 （对不起，。）
欧拉常数E没有得到应有的重视。其他的数学常数虽然用的是精美的希腊文(甚至希伯来文)字母，但E需要用简单-好-E来求解，让我们深入了解E的内在原理来理解它的原理。事情变了。它变大了。它变小了。指数增长(或衰减)指的是速率的变化，取决于我们要测量的量。以外太空的Blob为例。它会消耗掉沿途的一切。这样，它会变得更大。你得到的越多，吃的越多。
我们可以谈谈Blob的倍增时间。每小时翻倍！该声明的内在观点是，其增长率取决于其目前的规模。
我们通常这样比较增长率：
我们可以问两个问题中的一个。我们可以问，Blob在一小时内增长了多少？会翻倍吗？三倍？“介于两者之间？”上图回答了这种问题。我们设定了一个时间尺度。然后，我们画一条曲线来显示根据这个比率的增长。
我们比较了三种不同的标准时间单位增长率。在此期间，一个数量翻了一番，另一个翻了三倍。中间的虚线表示增加约2个点。
然而，请不要提醒我们，增长本身就有两倍或三倍。我们可以用一条曲线来代表所有的指数增长。重要的是时间尺度。
这就引出了第二个问题：Blob需要多长时间才能翻倍？三倍？“还有别的吗？”现在，我们保持刻度不变，调整时间刻度。
下面的下一条曲线显示了上面虚线的生长点(大约2个点)。两个不同的时标显示了双倍时间和三倍时间。
我们通过x轴上的刻度来表示一个函数的两倍和三倍。在所示的时间空间中，该函数已经翻倍了两次。
无论使用什么规模，增长都不会改变。我们也可以备份并从t=-1开始计算每个刻度。曲线不会改变；只有门柱。让我们仔细看看Blob的增长率。时间尺度是基于它的倍增时间。
每张图表中的增长曲线都是相同的。当时间刻度提前一个单位开始时，音量刻度被切成两半。增长率总是与成交量成正比。
上面的曲线显示了Blob的增长。时间倍数标在时间刻度上。如果我们提前一个时间单位启动时钟，Blob的大小将减半。整个容积率需要减半。增长率没有变化——这是同一条曲线。是速率Blob数的倍数。
我们可以用同样的曲线，标记三次时间。然后，我们将应用其他缩放因子。在两倍和三倍之间，比例因子为1。增长率与成交量完全匹配。
我们如何计算比例因子？
当t处于倍增时间时，t时刻的Blob大小由以下表达式给出：
通过测量从t=0到接近t=0的某个时期的斜率，我们可以估算出t=0时的增长率。我们越接近t=0，估计越好。t=0时的比值是我们的比例因子。
越来越好的评价
oximations of the scaling factor for doubling.在t = 0和t = 1之间的平均比率是1。 我们想做得更好。 这是t = 0和t =½之间的平均比率
我们可以做得更好：
我们试图确定的比例因子的名称为：对数。 在这里，我们处理的是2的对数。
我们可以使用n表示时间片的大小。 n越大，表示切片越小。 下面的表达式表示，我们可以通过选择一个足够大的n来固定对数的值，使其尽可能接近：
我们可以针对要跟踪的任何增长概括此公式。 如果要监视三重，则将3插入b点，这将告诉我们如何缩放时间轴。 它还告诉我们如何乘以体积，以得到该体积的增长率。
但是那个甜蜜点呢？ 那是2到3之间的数字，比例因子恰好是1。那就是我们称为e的数字。 我们可以在上面的表达式中将e替换为2。 我们知道，作为定义，log e = 1。 稍作重新排列就使我们表达了e：
在上述过程中，我们省略了表达式的限制部分。 我们应该把它放回去作为最后的声明：
我们对这个公式有什么理解？ 我们可以通过另一种方式得出相同的公式。
我们知道，开始时，当体积为1时，其增长率为1。e的第一近似值为2。这是另一时间单位后的（非常）近似的体积。
但是，随着Blob的增长，其增长率也在不断提高。
通过将该时间单位分成两部分，可以得到更好的近似值。 在第一个½单位之后，音量为1½。 在下一个½单位之后，为（1 +½）²= 2.25。 让我们发疯吧。 让我们将单元数分解为100。
经过1,000次迭代后，我们只能保留小数点后2位。 这种收敛是缓慢的。 我们需要将迭代次数扩展到1000 s，以了解其前进的方向。
> The function crawls towards e in its own good time.
这次，我们基于增长率不断更新的事实来建立e的公式。 这是我们从对数路径获得的公式。
我们还有另一种方法来计算e的值。 我们可以应用二项式定理。 同样，省略表达式的限制部分：
让我们看一下前几个术语，以了解我们可以识别的模式。
k = 0
k = 1
k = 2
当n变大时，分子中的1失去意义，该项的值收敛，如图所示。
k = 3
现在，出现了一种模式。 每增加一个新项，分母的阶乘就增加。 n的幂总是匹配分子中表达式的顺序。 因此，随着n变大，n个项会抵消，仅留下阶乘。 这给我们留下了无限的总和：
它既美丽又令人惊讶。 它背叛了e值的意外规律性。
我们将其留在那里。 但是，我们离e的奥秘还远没有结束。 也许再有一次我们可以深入研究更多-我要说-复杂的应用程序？
(本文翻译自Adam Hrankowski的文章《Fall in love with e all over again.》，参考：https://medium.com/swlh/fall-in-love-with-e-all-over-again-2ddc5d03d4cc)