00-1010人工智能数学基础系列文章
1.人工智能的数学基础-导数2。人工智能的数学基础-矩阵3。人工智能的数学基础——线性二阶近似人工智能的研究对于数学要求还是需要一定的基础。无论涉及的算法还是名词概念，都是基于数学模型进行训练学习的。因此，在思维可以从传统中改变之前，理解和整理所有涉及的数学知识是非常必要的。
这里介绍一元函数(标量场)的导数，后面我们会介绍多元函数(向量或多维矩阵场)的导数，因为多元函数需要向量和矩阵相关的知识，接下来我们会详细介绍多元函数的导数。
一、导数
1.定义
函数的导数f’(x0)是函数f(x)在x0值处的导数，也是函数f(x)在x0点处的切线斜率，这里用p点表示，如图所示：
2.导数的求导过程
我们知道高中时计算函数斜率的公式：y-y0=m(x-x0)，其中m是函数的斜率。我们如何找到斜率值或导数？
在上图中，假设在p0和Q处有一条与函数f(x)相交的直线L，保持p0不变。当Q沿函数f(x)无限接近p0，且P0与Q重合时，此时直线L与P0的切线N重合，是极限无限趋于x0(即P0)的求解过程。上图显示X轴上P0到Q的变化为 X，Q点的X值为x0 X，Y轴上Q点的变化为 Y，或 F，而P0和Q的坐标为：P0(x0，f(x0))、Q (x0 x，f (x0 x))。一开始我们提到计算斜率的公式是y-y0=m(x-x0)，m=(y-y0)/(x-x0)，m=
3.推导示例
例1
根据上面的公式，例如，如果有一个函数f(x)=1/x，求x0上的导数？
当 x接近0时，函数1/x的导数为-1/x ^ 2。例2
求函数1/x的导数后，我们来解一个有趣的问题，求函数f(x)=1/x的点p的切线与坐标轴的交点所围成的三角形的面积，求三角形AOB的面积如下：
通过上面的研究，我们已经知道了切线方程：y-y0=m(x-x0)，函数f(x)=1/x的导数是-1/x ^ 2。求三角形面积，我们只需要求线段AO和bo的长度，即A点的坐标(0，y)和b点的坐标(x，0)。
解决过程有点乱。把A和B的坐标和导数代入后，就可以求出A和B所代表的三角形两边的Y和X值，最后根据三角形面积公式：1/2AOBO，面积为2，函数f(x)=1/x，相当惊人。由通过函数的点的切线和坐标轴的交点包围的三角形面积为2。例3
由于可以得到函数f(x)=1/x(即x的-1次幂)的导数，也可以得到f(x)=x ^ n的导数，如下：
这里最难的是二项式(x + Δx)^n的展开为多项式，（二项式定理）这个高中的数学书应该有提及，其实只要试试(x + Δx)^2和(x + Δx)^3的展开，就可以找出其中规律，上图写的O((Δx)^2)是许多由Δx所组成的项式，因为我们求导最终是一个极限的过程，所以只有变化量的项式就写成了一个统称，没有实际的计算意义。最终得出当Δx趋于0的时候，函数f(x) = x^n的导数是 f '(x) = nx^n-1，通过这个导数公式也可以反过来证明我们上门例子一中所计算出的函数f(x) = 1/x的导数，也是f '(x) = -1/x^2（即-x^-2）。 经过例子三的计算，很容易对多项式函数进行求导，比如：f(x) = 10x^3 -2x^5，f '(x) = 30x^2 - 10x^4。例子四
下面来推导下三角函数的导数： f(x) = sinx，f '(x) = (sinx)'，利用上门的求导公式，解得：
正弦的两角和公式展开后，求得Δx趋于0的时候，cosΔx等于1，所以cosΔx-1 / Δx等于0，Δx趋于0的时候，sinΔx等于0， sinΔx/Δx等于1。余弦函数f(x) =cosx的求导，f '(x) = (cosx)'：
以上三角函数的两角和公式： sin(x + Δx) = sinx·cosΔx + cosx·sinΔx cos(x + Δx) = cosx·cosΔx - sinx·sinΔx二、高阶导数
所谓高阶导数就是，函数的一次求导叫一阶导数，对一阶导数再次求导叫二阶导数，对二阶导数再次求导叫三阶导数，对三阶导数再次求导叫四阶导数，如果求导n次就是n阶导数，这些都是高阶导数。这里举个例子，函数f(x) = x^n，的n次导数，求解？ 幸福的皮皮虾用f '(x)表示一阶导数，莱布尼茨在微分中使用 d/dx(x^n)来表示一阶导数也可以用D x^n 来表示，(d/dx)d/dx(x^n)表示二阶导数也可以用D ^2 x^n表示，n次导数可以用 D^n x^n
下面我们来对函数f(x) = x^n，进行n阶导求解：
最终是一个n!，n的阶层是一个常量了，如果进行n+1次求导，那么函数f(x) = x^n的n+1阶导数就是0。三、常用导数公式
其中指数和对数的会比较难记住，我就是经常记不住。o_o|||，惭愧高中指数和对数的知识也忘了。以后还是有必要专门有一篇是介绍和复习指数对数相关概念、性质和运算法则的文章。
导数知识先介绍到这，关于四则运算的求导，网上已有很多资料，可以上网查找其相关求导法则，万变不离其宗推导方式都可以利用第二小标题的“求导公式”来计算推导。希望这篇文章能对你有所帮助，回忆起高中导数和微分相关的内容。
人工智能数学基础系列文章
1. 人工智能数学基础----导数2. 人工智能数学基础----矩阵3. 人工智能数学基础----线性二阶近似