组合数公式是指从n个不同元素中任意选取m (谨慎的行人)个元素进行分组，称为从n个不同元素中提取m个元素的一个组合。 从n个不同元素中提取m (谨慎的行人)个元素的所有组合的个数称为从n个不同元素中提取m个元素的组合数。 用符号c(n，m )表示。
中文名称
组合式
外语名称
组合编号公式的写法
c(m，n )=p ) m，n )/n！
递归公式
c(m，n )=c(m-1，n-1 )=c(m-1，n ) ) ) ) ) ) ) )。
应用领域
公式组合
编辑
语音
有时表示如下
(r )
组合式的导出是从数组式中去除了重复部分。 数组公式建立模型，从n个不同的元素中提取m个并排列成一列(有序)，第一个位置有n个选择，第二个位置有n-1个选择) )同样，第三个位置有n-2个选择这样，在第m个位置有n-m 1个选择项的种类不同的排列(全部排列)，组合的总数为
组合公式的性质
编辑
语音
组合数学公式递归公式
编辑
语音
等式的左边表示从n个元素中选择m个元素，等式的右边表示该过程的另一种实现方法。 任意选择n中的某个候补要素作为特殊要素。 从n中选择m个要素，从而将是否含有特殊要素分为两种情况。 即，m个被选择要素中包含特殊要素，m个被选择要素中不包含该特殊要素。 前者相当于从n-1个元素中选择m-1个元素组合，即； 后者相当于从n-1个元素中选择m个元素的组合。
关联运用：的二元定理的系数，即这个数列； 任何集合的部分集合的个数都使用这个数列，作为个得到。
组合公式算法示例
编辑
语音
假设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件，求出次品数量的期待和分散？
2、据了解，某射手对同一目标进行射击，使用x进行射击次数，直至命中r次，命中率为p，求e(x )、d ) ) x )。
这两个问题都需要一些技术。 列举几个重要公式，在证明过程中给出变换技术，再以这两个主题为例题。
首先定义符号，用s ) K=1，n ) f ) k表示函数f(k )从K=1到K=N的总和。
公式1 :
c(m-1，N-1 ) c(m-1，n )=c (m，n ) ) ) ) ) ) ) ) )。
公式1证明：
方法1、可以直接利用组合数的公式证明。
方法2 ) )更重要的想法)。
从m个要素中任意指定一个要素。 在n种方法中，含有这一个元素的是c(m-1，N-1 )种组合，不含有这一个元素的是c ) m-1，n )种组合。
因此，成为c(m-1，N-1 ) c(m-1，n )=c (m，n )
公式2 :
s(k=N，m ) c (k-1，N-1 )=c (m，n ) ) m )=n ) ) ) ) ) 652
证明： c(m，n )是从m个中选择n个的方法。
从m个中任意指定M-N个，依次从第1个到第M-N个编号，剩下的有n个。
选择n个的方法可以分为以下几种。
含有1号的是C(M-1，N-1 )种
不含1号，但含2号的是C(M-2，N-1 )种。
虽然不包含从1到M-K号，但包含M-K 1号的是c(k-1，N-1 )种。
不含1至M-N-1，但含有M-N编号的c(n，N-1 )种为不含1至M-N编号的c(n，n )种，但c ) n，n )=c ) N-1，N-1 ) )
因为这两种想法都是从m个东西中选择n个的方法
s(k=n，m ) c (k-1，N-1 )=c(m，n ) ) ) ) ) )
公式3 :
s(k=0，n ) c(p，k ) c(p，N-K )=c (pq，n ) ) p，q (=n ) ) ) ) ) ) 65 )
证明：如果一批产品中含有p个正品和q个次品，从这些产品中选择n个的方法为c(pq，n )。 公式中的k表示选法中正品的数量，
c(p，k ) ) c(p，N-K )在n个产品中有k个正品，表示N-K个不良品的选择方法。 k从0变化为n时，包含正品、不良品数量不同的所有组合。
因此，成为s(k=0，n ) c ) p，k ) c ) q，N-K )=c ) pq，n )
公式4 (转换技巧) :
s(k=0，n ) k*c ) m，k )=s ) k=0，N-1 ) m * c (m-1，k ) ) ) ) ) ) )
证明：
) ) ) ) )。
=s(k=1，n ) k * c (m，k ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。
=S(K=1，N)K*M！/K！/(M-K)！
=S(K=1，N)M*(M-1)！/(K-1)！/(M-K)！
=S(K=1，N)M*C(M-1，K-1)
=S(K=0，N-1)M*C(M-1，K)
公式5(公式4的同种)
S(K=0，N)K*(K-1)*C(M，K)
=S(K=0，N-2)M*(M-1)*C(M-2，K)
证明：(类似上式)
S(K=0，N)K*(K-1)*C(M，K)
=S(K=2，N)K*(K-1)*M！/K！/(M-K)！
=S(K=2，N)M*(M-1)*(M-2)！/(K-2)！/(M-K)！
=S(K=2，N)M*(M-1)*C(M-2，K-2)
=S(K=0，N-2)M*(M-1)*C(M-2，K)
公式4用于求数学期望，公式4、公式5结合起来可用于求方差。
例1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？
解：(本题利用公式3、4、5)
有K件次品的概率为：
P(K)=C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)
E(X)
=S(K=0，150)K*C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)
=S(K=0，149)1000*C(999，K)*(14000，149-K)/C(15000，150)
=1000*C(14999，149)/C(15000，150)
=10
D(X)
=S(K=0，150)(K-10)*(K-10)*C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)
=S(K=0，150)(K*K-K-19*K+100)*C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)
=S(K=0，150)K*(K-1)*C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)
-19*S(K=0，150)K*C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)
+100*S(K=0，150)C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)
=S(K=0，148)1000*999*C(998，K)*C(14000，148-K)/C(15000，150)
-19*S(K=0，149)*1000*C(999，K)*C(14000，149-K)/C(15000，150)
+100*S(K=0，150)C(1000，K)*C(14000，150-K)/C(15000，150)
=1000*999*C(14998，148)/C(15000，150)
-19*1000*C(14999，149)/C(15000，150)+100
=138600/14999
=9.240616041
此题推广形式为：
设M件产品中有P件次品，从中拿出N件(N《=P)，求得到次品数的期望和方差？
E(X)=P*N/M
D(X)=P*(P-1)*C(M-2，N-2)/C(M，N)
+(1-2*P*N/M)*P*C(M-2，N-2)/C(M，N)+(P*N/M)^2
例2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E(X)、D(X)。
解：射中R次，使用的射击次数为K次(K>=R)，则前K-1次射中R-1次，第K次射中了，概率为：
P(K)=C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
(以下暂时用W表示无穷大)
射中R次，使用的射击次数可为R次、R+1次...W次
因此S(K=R，W)P(K)=1 (这是概率的特点)
即：S(K=R，W)C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)=1
以上证明的式子是另一个公式，即无论P，R是什么数都成立，以下将应用这一公式。
E(X)
=S(K=R，W)K*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
=S(K=R，W)K*(K-1)！/(R-1)！/(K-R)！*P^R*(1-P)^(K-R)
=S(K=R，W)R*K！/R！/(K-R)！*P^R*(1-P)^(K-R)
=S(K=R，W)R*C(K，R)*P^R*(1-P)^(K-R)
=R/P*S(K=R，W)C(K，R)*P^(R+1)*(1-P)^(K-R)
令K1=K+1，R1=R+1，则
E(X)=R/P*S(K1=R1，W)C(K1-1，R1-1)*P^R1*(1-P)^(K1-R1)
利用以上公式得
E(X)=P/R
D(X)
=S(K=R，W)(K-R/P)^2*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
=S(K=R，W)(K*K-2*K*R/P+R*R/P/P)*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
=S(K=R，W)[K*(K+1)-(K+2*K*R/P)+R*R/P/P]*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
=S(K=R，W)[K*(K+1)*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
-S(K=R，W)(K+2*K*R/P)*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
+S(K=R，W)R*R/P/P*C(K-1，R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
=(推导过程同求E(X)，略)
=R(R+1)/P/P-(2*R+P)*R/P/P+R*R/P/P
=(1-P)*R/P/P
词条图册
更多图册