关于齐次坐标的理解(经典)
janestar 2015-03-131933601733605734676收藏59
专栏：图形文章标签： opengl图形
问题：两条平行线可以在一点相交
在欧几里得几何空间中，同一平面的两条平行线不相交。 这是我们熟悉的场景。
但是，在透视空间中，两条平行线可以相交。 例如，列车轨道随着我们视线的变窄，最后两条平行线可以在无限远的地方相交于一点。
欧几里得空间(或笛卡尔空间)最适合描述二维/三维几何，但该方法不适合处理透视空间问题(实际上，欧几里得几何是透视几何的子集)，二维笛卡尔坐标可以表示为(x，y )
如果某一点位于无限远处，则该点的坐标为(，)，在欧几里得空间中没有意义。 平行线在透视空间的无限远处相交于一点，但在欧几里得空间中是不可能的，数学家发现了解决这个问题的方法。
方法：对齐坐标
总之，齐次坐标是指用N 1维表示n维坐标
我们可以在二维笛卡尔坐标的末尾加上附加的变量w，形成二维齐次坐标。 因此，一个点(x，y )在齐次坐标中(x，y，w )，且
X=x/w
Y=y/w
例如，在笛卡尔坐标系中，(1，2 )的齐次坐标可以表示为) 1，2，1。 点) 1，2 )无限远移动时，在笛卡尔坐标系中为(，)，其齐次坐标表示为(1，2，0 )。 因为)1/0，2/0 )。
为什么叫齐次坐标？
我们将齐次坐标变换为笛卡尔坐标的方法只要将前面的n-1个坐标分量分别除以最后的分量即可。
在转换为笛卡尔坐标的过程中，有以下发现。
可以看到(1，2，3 )，2，4，6 )和(4，8，12 )对应于相同的euclidean point (1/3，2/3 )和任意标量的乘积。 例如，) 1a、2a、3a ) )对应于笛卡尔空间中的)1)，因此这些点表示笛卡尔坐标系中的相同点，因此它们是“对齐的”。 也就是说，齐次坐标具有规模不变性。
证明：两条直线可以相交
考虑以下方程式。
我们知道，在笛卡尔坐标系中，这个方程解不出来。 因为C D，所以C=D时，两条直线相同。
在透视空间中，用齐次坐标x/w，y/w代替x，y吧。
现在我们有解(x，y，0 )。 两条直线相交于) x、y、0 )。 这一点在无穷远处。
总结：齐次坐标是图形学中一个非常基础的概念，例如将三维场景映射到二维场景的过程
参考： http://www.song ho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html