本文介绍MATLAB遗传算法工具箱求解非线性规划问题。 在阅读本论文之前，建议读者阅读上一期的《MATLAB遗传算法工具箱》以解决线性规划问题。 文章传送门： https://blog.csdn.net/weixin _ 45012973/article/details/107282323
一、引例
前期介绍了遗传算法求解线性规划问题。 看看下面的例子。 能用上次说的方法解决吗？
在上面的示例中，第二个约束包含二次项，这似乎不是线性的，无法通过上一种方法直接解决。 下面介绍非线性规划遗传算法的实现。
二、非线性规划的标准形式
2.1非线性规划的标准形式
与线性规划一样，在调用遗传算法工具箱之前，还应该学习非线性规划的标准格式。 因为要调用工具箱，必须将非标准格式的模型转换为标准格式。
其中，该函数是目标函数，可以是线性的也可以是非线性的。 公式[1]、公式[2]、公式[5]与线性规划相同，是对应维的矩阵和向量。 公式[3]表示非线性不等式约束，公式[4]为非线性等式约束。 和非线性向量函数。 (这里可能很难理解，下面结合一例进行说明。 ）
2.2非线性规划范例
例如，以下模型
可见该模型没有线性约束，公式[1]、公式[2]、公式[3]、公式[4]都是非线性的。 这里，式[1]、式[2]是非线性不等式约束，式[3]、式[4]是等式约束. 对于非标准非线性规划模型，首先要使之成为标准模型。 变换方式与线性规划相同，采用加负号或乘-1的方式。
1 )不等式约束(将式(1)、(2) )转换为的形式)，但小于符号的右边为0，常数需要向左边移动，注意这与线性约束的不同点) ) )。
请注意这里。 是向量函数。 该模型有两个不等式约束，函数的返回值必须是两个数。 (读不懂也没关系。 具体说明编程时如何编写)
2 )请注意，等式约束(表达式[3]，[4] )转换为的形式)等号右边为0，常量需要移动到左边。 这是与线性约束不同的地方。
这里需要注意的是向量函数，本模型有两个等式约束，函数的返回值应该是两个数。 (读不懂也没关系。 具体说明编程时如何编写)
三、使用遗传算法工具箱对模型进行求解
MATLAB提供的遗传算法工具箱主要分为两个函数。 是gaoptimset (函数和ga )函数。 gaoptimset )函数用于设置遗传算法的一些参数，可以不设置。 如果不设置，则使用默认参数。 ga )函数调用遗传算法计算优化问题。
3.1设置遗传算法的一些参数——gaoptimset ()函数的使用
呼叫格式为：选项=gaoptimset (' param1'，value1，' Param2'，value2，)；
其中，' Param1'、' Param2'等是种群的规模、交叉比例等应该设定的参数。 value1、value2等是Param的具体值。 常用的参数名称如下表所示。 只列出了常用的东西。 另外，还有很多可以调整的参数。 你可以自己在网上搜索。
gaoptimset函数的常规选项设置的参数名称(Param名称) ) ) ) ) ) )。 说明默认值CrossoverFraction交叉比率0.8Generations算法中止的最大迭代次数100PopulationSize种群规模20MigrationFraction变异概率0.2FitnessLimit适应度函数达到设定的值时例如，需要写交叉的比例为0.7，反复次数为300，种群规模为30，代码
options=gaoptimset (' crossover fraction '，0.7，' Generations '，300，' PopulationSize '，30 )； 返回的options是一个结构，用于ga函数的最后一个参数
3.2
开始遗传算法的计算——ga()函数的使用ga函数的调用格式为：
[x_best,fval] = ga(fun, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options);
参数名
funnvarsAbAeqbeqlbubnonlconoptions含义目标函数句柄自变量个数线性不等式约束
(以矩阵形式表示，下同)
线性等式约束自变量的定义域非线性约束函数句柄上一步gaoptimset函数返回的结构体备注如果某个参数不需要，就设置为空矩阵[]返回值x_best为取到最小值时的自变量x的取值，fval为所求的最小值。
四、非线性规划模型的实例
4.1 还是前面出现的模型
1) 编写适应度函数(即目标函数)
目标函数的编写就不多说了，和之前线性规划的编写方法相同
function f = fitnessfun(x) f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^3 + 8;end2) 编写非线性约束函数
根据式[1]、[2]，非线性不等式约束的函数为： ，
根据式[3]、[4]，等式约束的函数为：
非线性约束函数和需要在MATLAB中编写为如下格式（写在一个function里）
function [c, ceq] = 函数名(x)
参数和返回值解释：
x即为自变量的值，为行向量。c即不等式约束的函数值，是列向量（可以存在多个约束）。ceq即等式约束函数的函数值，同样是列向量（可以存在多个约束）
也就是本题返回值要写成这样的形式（这样看的更直观一些）：
因此，这题的function应定义为
function [c,ceq] = nonlconfun(x) % 入口参数 x:为自变量的行向量 % 出口参数 c:非线性不等式约束的函数值。由于本题有两个不等式约束 % 因此c(1,1)为第一个不等式约束函数值，c(2,1)为第二个不等式约束函数值 % ceq:非线性等式约束的函数值，由于本题有两个等式约束，同c一样 % ceq(1,1)为第一个等式约束函数值，ceq(2,1)为第二个等式约束函数值 c(1,1) = -x(1)^2 + x(2) - x(3)^3; c(2,1) = x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20; ceq(1,1) = -x(1) - x(2)^2 + 2; ceq(2,1) = x(2) + 2*x(3)^2 - 3;end3) 设置遗传算法工具箱的相关参数
（如不知道相关参数如何配置，可参见上一期遗传算法工具箱求解线性规划的博客）
这里我们设置种群规模300，迭代次数为800，返回值为options.
options = gaoptimset('PopulationSize', 300, 'Generations', 800);4) 调用ga工具箱
我们知道，ga工具箱的调用格式为：
[x_best,fval] = ga(fun, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options);
由于本题没有线性约束，因此参数A、b、Aeq、beq都可以设置为空。
对自变量x的约束为：，因此，，而ub可以不设置
因此，这部分代码为
options = gaoptimset('PopulationSize', 300, 'Generations', 800); % 遗传算法相关配置fun = @fitnessfun; % 设置适应度函数句柄nonlcon = @nonlconfun; % 设置非线性约束函数句柄nvars = 3; % 自变量个数A = []; b = [];Aeq = []; beq = [];lb = [0;0;0]; ub = [];[x_best, fval] = ga(fun, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options);完整的代码为：
clear;clcoptions = gaoptimset('PopulationSize',200, 'Generations', 600); % 遗传算法相关配置fun = @fitnessfun; % 设置适应度函数句柄nonlcon = @nonlconfun; % 设置非线性约束函数句柄nvars = 3; % 自变量个数A = []; b = [];Aeq = []; beq = [];lb = [0;0;0]; ub = [];[x_best, fval] = ga(fun, nvars, A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options);function [c,ceq] = nonlconfun(x) c(1,1) = -x(1)^2 + x(2) - x(3)^3; c(2,1) = x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20; ceq(1,1) = -x(1) - x(2)^2 + 2; ceq(2,1) = x(2) + 2*x(3)^2 - 3;endfunction f = fitnessfun(x) f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^3 + 8;end运行结果为
fval的值为10.9886即为所求，此时x_best的值为[0.9917 1.0041 0.9988].
因此当时，函数取到最小值10.9886
（遗传算法具有一定随机性，每次的运行结果有差别，建议多运行几遍程序，找一个最好的结果）
4.2 求下列问题的解
1) 编写目标函数
function f = fitnessfun(x) f = -2 * x(1) - 3 * x(1)^2 - 3 * x(2) - x(2)^2 - x(3);end2）编写非线性约束函数
式[1]、[2]、[3]为非线性不等式约束，式[4]为非线性等式约束，因此
，
使用MATLAB编写为：
function [c,ceq] = nonlconfun(x) % 入口参数 x:为自变量的行向量 % 出口参数 c:非线性不等式约束的函数值。由于本题有多个不等式约束，以列向量的形式返回即可 % ceq:非线性等式约束的函数值。 c(1,1) = x(1) + 2 * x(1)^2 + x(2) + 2 * x(2)^2 + x(3) - 10; c(2,1) = x(1) + x(1)^2 + x(2) + x(2)^2 - x(3) - 50; c(3,1) = 2 * x(1) + x(1)^2 + 2 * x(2) + x(3) - 40; ceq = x(1)^2 + x(3) - 2;end3）调用ga函数
（这里就不调用gaoptimset函数配置遗传算法的参数了，直接使用默认参数）
式[5]、[6]为线性不等式约束，标准形式为
可转化为： ，因此：
本题没有线性等式约束，也没有自变量约束，因此Aeq、beq、lb、ub均设置为空矩阵。写好ga所需的入口参数，即可调用ga函数，调用方式如下：
fun = @fitnessfun; % 设置适应度函数句柄，(在函数名前加@即可)nonlcon = @nonlconfun; % 设置非线性约束函数句柄nvars = 3; % 自变量个数A = [-1,-2,0;-1,0,0]; b = [-1;0]; % 线性不等式约束Aeq = []; beq = []; % 线性等式约束lb = []; ub = []; % 自变量定义域[x_best, fval] = ga(fun, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, []);整体程序为：
clear;clcfun = @fitnessfun; % 设置适应度函数句柄，(在函数名前加@即可)nonlcon = @nonlconfun; % 设置非线性约束函数句柄nvars = 3; % 自变量个数A = [-1,-2,0;-1,0,0]; b = [-1;0]; % 线性不等式约束Aeq = []; beq = []; % 线性等式约束lb = []; ub = []; % 自变量定义域[x_best, fval] = ga(fun, nvars, A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,[]);function [c,ceq] = nonlconfun(x) c(1,1) = x(1) + 2 * x(1)^2 + x(2) + 2 * x(2)^2 + x(3) - 10; c(2,1) = x(1) + x(1)^2 + x(2) + x(2)^2 - x(3) - 50; c(3,1) = 2 * x(1) + x(1)^2 + 2 * x(2) + x(3) - 40; ceq = x(1)^2 + x(3) - 2;endfunction f = fitnessfun(x) f = -2 * x(1) - 3 * x(1)^2 - 3 * x(2) - x(2)^2 - x(3);end运行程序后，得到运行结果：fval的值为 -15.2409.由于我们在标准化模型时，将目标函数添加了一个负号，因此原函数的最大值约为15.2409.
（遗传算法具有一定随机性，每次的运行结果有差别，建议多运行几遍程序，找一个最好的结果）
遗传算法工具箱求解非线性规划的内容就介绍到这里，看完这些，相信你也能解决文章开始的引例了！