几何形状理解这个主题的方法是示例。 我们从两个极其简单的方程开始，可以说大家不用学习线性代数课就能解决。 但是我想给tsdgs一个机会：
2xyx y=1=5可以逐行或逐列查看此方程。 我希望大家都能明白。
第一种方法主要看各方程式(行)。 这是大家最清楚的事情，对于二维的情况很快就能理解。 方程2xy=1表示xy平面上的一条直线。 该直线通过点x=1、y=1和x=12、y=0() (2，3 )和所有中间点)。 第二个方程x y=5得到另一条线(图1a )。 斜率为dy/dx=1，与第一条线相交。
交点在两条线上。 那是这两个方程的唯一解。 通过"消去法"，可以迅速求出点x=2、y=3.
第二种方法是将线性系统视为列。 两个独立方程实际上是向量方程：
Columnformx[21] y[11]=[15]问题是找到组合了左边列向量的组合，从而生成右边向量。 这些向量(2、1 )、1、1 )由图1 )中的粗线表示。 未知的量是与列向量相乘的x，y。 从整个想法可以看出，将两倍的第一列向量加上三倍的第二列向量可以得到右边的结果。 从几何学上看，这产生了有名的平行四边形。 代数上，这产生了方程右边的正确向量(1，5 )。 列的照片证明了x=2，y=3。
虽然这个例子需要一些时间，但是向前移动，使n=3。 三个方程仍然是可控的，他们有更多的变形：
three planes 2u4u V6 v7v w2 w===529 (1)我们再次研究行或列，先从行开始。 各方程表示三维上的平面。 第一个平面为2u v w=5，如图2所示。 包含点(52，0，0 )、0，5，0 )、0，0，5 )。 只要他们不在一条直线上，那就由任意三点决定。
图1 :行图像(两条线)和列图像(组合列)
如果5为10，则平面2u v w=10与一个平面平行。 它包括距离原点u=0、v=0、w=0两倍的点(10、0、0 )、0 )。 如果改变右边的数值，平面会移动，但仍然与自己平行，平面2u v w=0通过原点。
图2 :线图像：由三个线性方程表示的三个相交平面
第二个平面是4u6v=2。 w可以取任意值，所以是垂直的。 的系数为零，但仍然是三维空间的平面。 (方程4u=3或更极端的u=0仍然描述了平面。 )图中显示前两个平面相交。 相交于一直线。 在三维空间中，一条直线需要两个方程；在n维空间中，需要n-1个方程。
最后，第三个平面与这条直线在一点相交。 第三个方程2u 7v 2w=9表示通过点u=1、v=1和w=2的平面(未绘制)。 三个相交的点(1，1，2 )是线性方程的解。
这一行的图像如何扩展到n维？ n个方程包含n个未知数。 第一个方程仍然决定“平面”。 但它不再是三维空间中的二维平面； 从某种意义上说，那就是维度是N1。 n在空间中应该是平的，非常薄。
如果时间是第四维，那么平面t=0削减了四维空间，产生了我们居住的三维宇宙(或者相反，宇宙在四维空间中t=0)。 另一个平面是z=0，这也是三维的； 那是普通的xy平面，这个平面涵盖了所有的时间。 这些三维平面也交叉！ 他们共享t=0的xy平面。 我们现在下降到了两个维度，下一个平面留下了直线。 最后，点留在了第四个平面上。 是四维空间中四个平面的交点，是四个线性方程的解。
如果这个来自相对论的例子向前推进了一步，我就会陷入麻烦。 相反，线性代数可以解决任意数量的方程。 第一个方程生成n是空间中的n-1维平面，第二个平面与之相交，所得到的维数是n-2的更小集合。 如果顺利的话，所有新平面(所有新方程)都会减少一维。 最后，考虑到所有的n都是平面，交点的维数为零。 它是位于所有平面上的点，其坐标满足所有n个方程。 那就是问题的答案！
列向量和线性组合我们转向列。 这次的向量方程式(与(1)的方程式相等)是
列格式242 v 167 w 102=529=b (2)这些都是三维列向量。 b由坐标为5、2、9的点决定。 三维空间的各点与向量一致，反之亦然。 这是笛卡尔的思想，通过使用点的坐标把几何学变成代数。 可以用列表示向量，列出分量(如b=(5，2，9 ) )，也可以用几何表示，其中顶点是原点处的箭头。 可以选择箭头、点或三个数字。 有六个
维度，最简单的莫过于选择6个数。
当成分水平列出时，我们使用括号和逗号；当垂直书写时，用方括号(不带逗号)。真正重要的是向量加法和标量(一个数)乘法。在图2a中是向量加法，各部分分别相加：
Multiplication by scalars2⎡⎣⎢102⎤⎦⎥=⎡⎣⎢204⎤⎦⎥,−2⎡⎣⎢102⎤⎦⎥=⎡⎣⎢−20−4⎤⎦⎥ 此外右侧的图是线性代数核心思想之一。它使用了两个基本操作；向量先是和数相乘，然后相加。这叫做线性组合，并且这种结合解决了我们的方程：
Linear combination1⎡⎣⎢24−2⎤⎦⎥+1⎡⎣⎢1−67⎤⎦⎥+2⎡⎣⎢102⎤⎦⎥=⎡⎣⎢5−29⎤⎦⎥ 方程(2)要求乘数 u,v,w 产生右侧的 b 。这些数是u=1,v=1,w=2。他们给出列的正确组合。在行图像(三个平面相交的)中也给出了点 (1,1,2)
图3：列图像：列的线性组合等于 b
我们真正的目标是超越两个或三个维度，看到n维。对于 n 个未知量的n个方程，在行图像中有 n 个平面。在列图像中有n个向量，再加上右边的向量 b 。方程需要n列的线性组合等于 b 。当然对于某些方程可能不存在。比较矛盾的是，理解好案例的方式就是研究坏案例。因此当它不满足，也就是奇异的情形下，我们试着看看它的几何形状。
奇异情况假设现在是三维空间，行图像中的三个平面不相交。那么将会有什么问题？一种可能是，两个平面平行。方程2u+v+w=5,4u+2v+2w=11不一致，平行的平面将无解(图4a所示)。在两维空间里，平行线是唯一的可能性。但在三维空间里，三个平面不想交的话会比较麻烦。
图4：奇异情况：(a)(b)(d)无解，(c)有无限个解
最常见的困难如图4b所示。平面构成了一个三角形。每一对平面都相交于一条直线，并且这些线都是平行的。第三个平面与其他平面不平行，但它与平行于他们的交线。这对应于一个奇异情况 b=(2,5,6) ：
No solution,as in Figure 4bu2u3u++vv+++w3w4w===256(3) 前两个方程左边相加得到第三个的左边，但右边 2+5≠6 。方程1加方程2减去方程3得到不可能命题 0=1 。因此方程组自相矛盾，tsdgs消元法将会系统地发现这个问题。
另一个与这个有关的奇异系统是有无限解。当最后那个方程的6换成7，三个方程结合起来得到 0=0 。现在第三个方程是前两个的和。这种情况下三个平面有一条共同直线(图4c)。改变右边的值将平行地移动图4b的平面，当 b=(2,5,7) 时，图像突然变得不同。最下面那条直线与另两条相交，这条线就是问题的解。图4c仍是奇异，但现在它是有太多的解，而不是太少。
极端的例子是三个平行平面。右边大部分情况下都没有解(图4d)。对于特殊的情况(像b=(0,0,0))整个平面都是解，因为三个平行平面移动成同一个平面。
当系统是奇异的时候，列图像会发生什么？方程左边仍有三列，并且我们试图组合他们得到 b 。
u⎡⎣⎢123⎤⎦⎥+v⎡⎣⎢101⎤⎦⎥+w⎡⎣⎢134⎤⎦⎥=b(4) b=(2,5,7) 时，可能； b=(2,5,6) ，不可能。原因是这三列位于一个平面上。然后每个组合也都在这个平面上(过原点)。如果向量 b 不在平面上，那么没有解(图5)。这是迄今为止最有可能的情况；奇异系统一般都没有解。但是有一个机会，就是b位于列组成的平面上。在这种情况下，有许多的解；三列可以有无限中组合得到 b 。图5b中的列图像对应于在图4c中的行图像。
图5：奇异情况：b位于三列确定的平面外或平面内
我们怎么知道三列位于同一平面内？答案之一是找出列的组合，使得他们相加等于零。经过一些计算，得到 u=3,v=1,w=−2 。三倍的第一列等于第二列加上两倍的第三列。第一列在第二列和第三列组成的平面内。只有两列是独立的。
向量 b=(2,5,7) 位于列1加列3构成的平面上，所以 (1,0,1) 是一种解。我们可以添加组合 (3,−1,−2) 给出了 b=0 。所以解是一整条直线，正如我们从行图像中看到的。
事实是，我们知道朴素的板凳得到零，因为行就是这样。这是一个数学事实，不是计算得到的，而且 n 维情况依然正确。如果n个平面没有交点，或有无限多个交点，那么 n <script type="math/tex" id="MathJax-Element-759">n</script>列位于同一个平面上。
如果行图像不成立，那么列图像同样如此。接下来几篇文章先讨论最重要问题-非奇异的情况，即有一个解。再然后研究一般情况，也许有很多解或根本没有。对于这两种情况，我们不需要矩阵符号和消除算法才能继续。