聪明的斑马
【摘要】本研究基于高视角，探讨例句分析同余定理在小学数学竞赛中的应用，探讨解决小学数学问题的优越性。
【关键词】小学数学竞赛的同余定理应用
图中分类编号： G623.5【文献识别代码】a【文章编号】2095-3089(2017 ) 40-0114-02
同余定理是初等数论的重要内容，它不仅为公钥体制的构建奠定了重要的理论基础，而且在生活中得到了广泛的应用。 因此，同余定理在各级数学竞赛中很受欢迎，尤其是在小学数学竞赛中，运用同余定理可以优化解题思路，简化解题思路。
一.同余定理概述
1 .同余定理。 同余的定义：给定正整数m，称其为模。 如果m中除了任意两个整数a和b之外的馀数相同，则a、b对模m说是相同的，表示为ab(modm )。 如果相差太多，我们就说a。 b相对于型号m不同。 表记为a吗？ 场B(MODM )。
2 .同余的关系性质。 根据同余定理，可以得到以下性质。
性质1(a ) b ) modm )、c ) d ) modm )； 则为acbd(modm )。
性质2(a ) b ) modm )、c ) d ) modm )； 于是，acbd(modm )。 对于特殊的情形，在a=c，b=d的情况下，为a2b2(modm )，从而可延伸到anbn ) modm。
性质3(ab ) modm )时，为anbn ) modm )。 一般来说，axb(modm )、ayc ) modm )的情况下，有axyBC ) modm )。
性质4(A1B1 ) modm )、A2B2 ) modm )、…、anbn ) modm )的情况下，A1A2…anB1B2…bn ) modm )。 性质7可以看作性质2的扩展。 ）
同余中还有一个非常重要的定理——费马小定理。 费马定理(当p为素数，a为自然数，(a，p )=1时，AP-11 ) modp )。 考生们在记忆这些性质时，可以采用螺旋上升的方式进行记忆。 其次，利用这些性质解决相关的竞赛问题，通过从定义中运用性质，巩固对同余的记忆。
二、例句分析同余定理在小学数学竞赛中的运用
例1:512321 89153-61129除以13的馀数是什么？
分析：此例题是性质4和性质5的混合运用。
解： 5125(mod13 )，3219 ) mod13 )，8917 ) mod13 )是已知的，
531(mod13 )，6110 ) mod13 )，293 ) mod13 )
因此，原式5971-03457-052(mod13 )0) mod13 )
也就是说512321 89153-61129除以13的馀数是0。
这样的题目，直接计算的话，除了计算量大之外，还容易发生计算错误。 如果直接使用同余定理的话会更简单。 考生需要注意的是公式的运用，把a、b和m模分开。 在解题过程中需要注意的是，如果余数相乘得到的数大于m，就需要再作一次同余，还要注意能整的特殊情况。
例2 )如果自然数26520、24903、24177除以m的馀数相同，m的最大值是多少？
分析：这个问题主要涉及性质4和最大公约数的相关性质。
(265202490324177 ) modm )，所以m|24903-24177=726=23112
m|26520-24903=1617=37211m|26520-24177=2343=31171
很明显，m应该是这三个数的公约数，所以m的最大值为311=33。
这类问题在解题时不能直接计算，但其解题过程充分利用了同余的性质，简化了计算过程，加强了对性质的扩展理解。
例3 :今天是星期二，还有200200天是星期几？
分析：此例题使用了费马小定理，如果经过的天数比较小，可以直接使用同余的性质进行计算。
解：因为7是质数。 且6=7-1，由费马小定理可知：
2002002006332(2006 ) 3320021332002 ) mod7)
另外，由于是20022(mod7)，所以成为20020013322 ) mod7)
因为今天是星期二，所以还有200200天是星期四。
这样的主题有“200200除以7的馀数是多少？ ”等，还有其他表达方式。 在解题过程中要注意理解题意，明确周期数，最后利用同余性质求余数。
例4 )求出5555 6666 8888-9999的位数。
分析：此例题除同余计算外，最主要的是自然数an的一位数字的变化规律。
儒家蜜粉1a(mod10 )、儒家蜜粉2a2 ) mod10 )、儒家蜜粉3a3 ) mod10 )、儒家蜜粉a4 ) mod10 )
由于(555553535 ) mod10 )、6666662626 ) mod10 )，
8888846 (mod10 )，9999993939 ) mo D10 )，
因此，原表达式56-98(mod10 ) 5555 6666 8888-9999的位数为8。
这个例子是利用同余求自然数的一位数字。 求自然数的各位数字，就是把自然数除以10得到的余数，即求与自然数模10的任何一位同余就可以了。 必须强调的是，模型的数量始终为10。 这道题综合了同余性质和自然数的一位数性质，比较全面，对考生来说存在一定的难度。
三.总结
本文通过对同余的定义和性质的介绍，以及对几类例题的解决，可以使考生对同余有进一步的总结和认识。 然而，同余问题千变万化，考生只有把握同余的本质，才能有效解决各类问题。 在学习的过程中，从主题的趣味性中，可以激发探究数学的兴趣，不能只为了解决主题而学习，而是为了兴趣而学习。
参考文献：
[1]闫嗣鹤.初等数论[M] .北京：高等教育出版社，2003 .
[2]纯真大叔.同余定理在数学竞赛中的应用[J] .数学学习与研究，2008(2) .
[3]凌科.小升初奥数精要15讲[M] .北京：中国石化出版社，2006.endprint