前言：基底变换在图像压缩等计算时经常使用。 基变换和相似矩阵的定义也非常密切相关。 基变换的本质是变换了基矢量的相关计算，在最充裕的豆芽乘法算法中，通过选择正确的基可以简化计算。
正确的特征向量和特征值的确定与本节的基变换存在相互印证的关系。
基底转换的标准定义：基变换的实质是， 将某向量空间中的元素v 由有序基 F[w1,w2...vn] v=x1w1+x2w2 +...xnwn的线性组合，表示成另一有序基E[v1,v2,...vn]即v=y1v1+y2v2+...ynvn的线性组合
1基础向量的源在二维向量空间中具有以下向量：
在单位基矢量的缩放中，【^i】和【^j】是单位基矢量
我们可以用隐含的假设考虑如下。
【方案中，坐标2表示向右运动，坐标3表示向上运动，基向量的单位表示运动的速度】
从这里开始，我们定义如下。
[ 3，2 ]是被称为标准的坐标系中的矢量，【^i】和【^j】是该标准坐标系的基矢量
2看看如果定义一组不同的单位基向量作为构成不同基向量的来源向量空间的基础，会发生什么。
例如：
我们在原始向量空间中定义任意两个向量，b1，b2，将其作为单位基向量：
【案，记住这个新的基向量在原有基向量空间的坐标后面要用到】
在该新定义的坐标向量坐标系中，b1、b2是单位向量。
也就是说，原始基向量[ 1，0 ]将被替换为[-1，1 ]，原始基向量[ 1，0 ]将被两个新基向量[ 2，1 ]替换。
【我们先称呼这两个变换后的基向量简称为斜的基向量，变换后向量空间为斜的向量空间，以便于简化描述，这个斜向的向量空间，在参考视频里面又叫做包容的火龙果的向量空间】
在这个新定义的斜坐标系中，隐含的假设发生了变化：
方向和单位长度都变了。
【方案，为了比较向量坐标系的变化，我们注意用平行四边形的网格背景来表示新的向量坐标系空间】
两个坐标系，唯一相同的是可以有相同的原点：
这样，我们构筑了新的基矢量的斜坐标系
3基变换：既然构建了新的基矢量坐标空间，那么在不同的坐标空间内，一个空间内的矢量如何在另一个变换后的空间内找到位置呢？
例如，这个倾斜的基向量空间的[-1，2 ]向量，在我们本来的标准向量空间中与哪个向量对应呢？
在倾斜的基向量空间中，向量[-1，2 ]大致可以表达为：
现在，在原始向量空间的坐标位置添加倾斜的基向量。
【案，注意，关键的联系表述出现了，如下：】
我们在斜向变化的向量空间中取的任意向量[-1，2 ]，他在原始向量空间中的坐标应该是通过这样的变换得到的：
【方案】让我来说明一下为什么是下面的计算公式。 在向量空间的dddxh位置有一个向量是通过他的坐标长度*单位向量获得的。 2我们现在乘以的单位向量的值是已经经过变换到原来正方形的单位向量的向量空间的值。 因此，得出的结果也不是倾斜的向量空间而是原来的向量空间的值】
【也就是说，通过上积的变换，我们变成了原来的坐标系】
【方案，这里对原始视频的描述不够充分，可以理解为向量之间线性变化的关系和联系，这类似于点积的表示吗？ 】
也就是说，我们得到了斜坐标系中的[-1，2 ]与我们坐标系中的[-4，1 ]相对应的向量。
在此，将某个向量的特定坐标乘以他的基向量数进行相加：
这就是矩阵的向量乘法：
矩阵向量乘法可以被解释为应用特定线性变换【矩阵列是变化后的新的基向量，他将新坐标系中的某个特定向量乘以所得到的我们原始变换前的向量的位置和值】
仔细想想上面的想法：
1首先-特定向量是基向量的特征线性组合：
2虽然变换后的向量仍然是线性组合，但是如果考虑使用新的基向量3，那么这种变换是在两个不同的基空间中进行的：
而且，其实只是表达不同而已【语言不同，和意思不同很像】
也就是说，在【- 1，2】斜格子空间中是与【- 4，1】的我们【原始】的空间等价的表现。
以上，我们完成了斜空间【基向量不是单位向量的变更空间】内的一个向量变换到以前我们的要素单位空间的例子。
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那么，现在我们要反过来吗？ 如果从原始坐标系的矢量坐标转换为倾斜坐标系下的坐标呢？
在第一节中
，我们有如下的一个向量：用单位基向量的缩放表示如下：【^i】和【^j】是单位基向量
步骤1：变换后的基向量是什么？我们设定，变换后我们的两个基向量分别是[2,1],[-1,1]
步骤2：原始 --》斜向的变化矩阵于是从这两个基向量构成的，我们称为斜的向量空间，变换到之前元素的坐标用的变换矩阵：就是
步骤3：斜向的变化矩阵 --》原始这个显然是步骤2的逆变换，而，一个变换的逆变换是一个新的变换，他是什么呢？
经过计算应该是右边这个矩阵：
步骤4，现在我们把元素坐标下的向量，逆变换到斜向的向量空间。
【逆变换的矩阵乘法如上】
这就是斜向向量空间里面和之前的[3,2]对应的那个向量。
推而广之：
右边的式子，也可以用逆变换，或者说逆矩阵表述为：
举例：
1 一个90度的选择的坐标变换： 1.1 从原始坐标系统来理解：用坐标变换，跟踪一下，变换后的坐标：
并把这个坐标作为矩阵的列：
这里我们理解为：
1.2 从斜的坐标空间来理解：在斜向坐标系下有一个任意的向量：
我们通过基变换矩阵把他变换从我们原始的坐标系下的向量：
然后，我们再左乘，【90度旋转的变换矩阵】
【注意，这样变换的结果就是我们原来坐标系下，变化后的向量了】
如果我们闲着蛋疼，想把这个向量再边到斜向坐标系里面去，那么，只需要再左乘一个原来变换的逆矩阵，就可以了。
【OK，如果我们把这些变换都放到一起，如上，我们就实现了一个在斜向的向量空间下，对任意给定的斜向坐标系下的向量的一个90度的翻转变换】
然后，我们可以计算和化简这个变换，最后得到，
【注意，这里变换的矩阵分别出现了两次，一次是左乘的逆矩阵，一次是右乘的矩阵】
于是可以拿来和任意一个想要翻转的向量来相乘，实现变换【在斜向向量空间下】
本例，这个给出的要变换的向量是[1,2]
于是有：如下的左乘计算完成了这个变换，
推而广之：
M就是你要的变换，A则表示你的数学上或者说空间上的转移作用的转移矩阵。
【案，转移矩阵必定为非奇异的(满秩)的】
推而广之，上面的式子其实也是一个相似变化的定义很像：
再推而广之，
矩阵的化简，可以通过对角化来实现矩阵化简。而能否对角化，又是通过判断和特征向量有关。这一个概念的联系，应该在下一节会介绍。
2 基变换公式 【案，这里从数学角度再推导一下】
【基变换公式，就是基向量变换公式】
在说明之前，先预备一下知识：就是向量的线性表出的三种形式记号：
【案，形式3 ，和形式1都是向量的线性表述的写法】
如果推而广之到一个多维的向量组，那么有，
3 坐标变换公式 例题1：理解了上述概念后，我们来做一道实际的例题，加深一下印象：
【案，这里有序基就是可以看出是一个基向量】
【这个例子，将两个有序基的转换表述出来，这里表述了用有序基[1,x,x^2]来表述有序基[1,2x,4x^2-2],这里基向量就是有序基，而这样就可以写出他对应的系数矩阵，注意这里是按照行的方式写，不影响结果】
【也就是完成了一个从[1,2x,4x^2-2], 到 [1,x,x^2]的转换】
而，反过来，
计算得到他的逆矩阵为：
然后，我们给的P3任意一个p(x),【也就是我们前面讨论的，一个向量空间的某一个任意向量】
【案，注意这里这个通用方程的系数[a,b,c]，就是我们要给出的任意向量的值】
求他对应于：【基向量】的坐标，
按照之前讨论，我们只需要用变换矩阵去左乘给出的任意向量，就可以完成这个向量的空间变换，也就是，
这个就是基于新的基向量的方程形式。
例题2，
上面推导如下：
由此，
由此
所以，
所以，
如果，换成基向量的变化，也就有：
词汇：
1implicit assumptions 隐含假设
2change of basis matrix 基变换矩阵
参考：
【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=13
(46条消息) 关于基变换_weixin_33725807的博客-CSDN博客https://blog.csdn.net/weixin_33725807/article/details/86252992?spm=1001.2101.3001.6650.5&utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromBaidu%7Edefault-5.no_search_link&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromBaidu%7Edefault-5.no_search_link(57条消息) 线性代数【１０】 相似矩阵_山云的专栏-CSDN博客https://dimensionspacex.blog.csdn.net/article/details/121491943
(46条消息) 基变换和坐标变换_大哉数学之为用-CSDN博客_基变换和坐标变换https://blog.csdn.net/Daniel_tanxz/article/details/89135594?spm=1001.2101.3001.6650.9&utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromBaidu%7Edefault-9.no_search_link&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromBaidu%7Edefault-9.no_search_link
旋转矩阵（Rotation Matrix）的推导及其应用 - meteoric_cry - 博客园 (cnblogs.com)https://www.cnblogs.com/meteoric_cry/p/7987548.html