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三、行列式的几何意义：
行列式的定义：
行列式是排列有几个数据的方阵经过规定的计算方法得到的数。 当然，如果行列式包含未知数，行列式就是多项式。 那个本质上表示了一个数值。 这一点请与矩阵区分开来。 矩阵只是一个数表，行列式对这个数表按照规则进一步计算，最终得到实数、复数或多项式。
一阶行列式
(注意不是绝对值)
二次行列式
三阶行列式
n阶行列式
行列式的几何意义是什么？
概括起来有两个说明：
一种解释是行列式是指行列式中行或列向量构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；
另一种解释是矩阵a的行列式三角洲是线性变换a中图形面积和体积的伸缩因子。
这两种几何解释之一是静态体积概念，另一种是动态变换比例概念。 然而，由于矩阵a表示的几何图形(由矩阵向量构成)相对于单位矩阵e表示的单位面积或体积)即正方形或立方体或超立方体的容积为1的几何图形，伸缩系数本身是矩阵a表示的几何图形的面积或体积，即矩阵a的行列式
二阶行列式的几何意义：
二次行列式的几何意义是以xoy平面上的行向量为邻边的平行四边形的有向面积。
二次行列式的几何意义是由行列式向量zxddt的平行四边形的面积。 另外，两个向量的外积也是这个公式。
二次行列式的另一个含义是两个行向量或列向量的外积的数值。 该数值是z轴上(在二维平面上，设想z轴的正方向指读者的方向) )的外积量。 数值为正值时，与z坐标相同方向； 负值与z坐标相反。 如果不强调外积是第三维向量，即忽略单位向量，则二次行列式完全等效于两个向量的外积。
二阶行列式性质的几何解释：
两个向量在同一条直线上，明显包围的四边形的面积为零，所以行列式为零
该性质由行列式的外积特性得到，交换行列式的两行，改变了向量a和向量b的外积顺序，成为依据，所以行列式要进行置换。
将矩阵公式中一行的k添加到另一行时，矩阵公式的值不变。 也就是说
矩阵的行列式与该转置矩阵的行列式相等(可以通过行列式的定义证明) )。
总结：
)1)向量a、b中的任意一个a乘以数k，则平行四边形的面积相应地变为k倍。
)2)向量a、b的一方乘以数k后再加到另一方上，则平行四边形的面积不变
)3)由单位向量(1，0 )，0，1 )构成的平行四边形(即单位正方形)的面积为1。
三阶行列式的几何意义：
一个33阶行列式是其行向量或列向量的zxddt的平行六面体的有向体积。
行列式通过分割某列向量可以得到两个行列式之和
行列式中两行或两列元素相同，对应空间平行六面体的两条邻边重叠，相当于在三维空间中将六面体压在零高度的二维平面上，显然该平面的三维体积为零。
行列式与运算行列式的要素得到的数值相对应。 因为此运算与元素的位置有关，所以矩阵公式的列向量或行向量的位置改变时矩阵公式的结果当然也会改变。 幸运的是只改变结果的符号。 一般来说，行列式的值对应于矩阵a的列向量的固定顺序。 如果增量为负值，则确定原始图像的反射。 所以，这个转换改变了原始图像的方向。
也就是说，长方体体积的k倍等于六面体的3条棱中1条棱长度的k倍。 这很明显。 因为立方体的体积越大，沿着立方体所在的棱线方向只增大相同的倍数。
该性质认为底面积平行六面体沿a方向切向转换，转换后六面体的底面积不变，高度不变，因此体积不变。
矩阵a的行列式等于矩阵a转置的行列式
行列式化为对角形的几何解释：
矩阵公式的第I行加上第j行的k倍，则第I行的元素为0，但此矩阵公式的值不变。 这个性质在制作简单的行列式时非常有用。
由二次行列式表示的平行四边形是由对角行列式表示的正(长)方形。
三次行列式有相似的变换情况，对角化过程使平行六面体变为等体积的立方体或长方体。
我想n阶行列式我们也可以毫不怀疑地表露出来
示成一个n维的长方体的几何图形。二阶行列式乘积项的几何意义：
对于二阶行列式而言，既然二阶行列式的几何图形是一个有方向的面积，那么从二阶行列式公理化定义−看，又是如何构成这个面积的呢？显然，式中项和项的和构成了这个面积。（面积方向的确定：叉积的右手定则）
三阶行列式乘积项的几何意义：
与二阶行列式的乘积项的几何解释类似，三阶行列式的乘积项，可以看成具有有方向的小长方体的体积。也就是说，在三阶方阵zxddt的三维平行六面体可以分解为一个个由各座标分量混合积构成的小长方体。这些小长方体共有六块，其体积具有方向。
n阶行列式乘积项的几何意义：
N阶行列式的超平行多面体的几何图形是由行(或列)向量zxddt的，而且这个n维超平行多面体与一个n维超长方体等体积。
比如一个二阶行列式可以分拆成两个这样的二阶对角行列式：
一个三阶行列式可以拆分成六个（其余的行列式值等于零）三阶对角行列式：
一个行列式的整体几何意义是有向线段（一阶行列式）或有向面积（二阶行列式）或有向体积（三阶行列式及以上）。
因此，行列式最基本的几何意义是由各个坐标轴上的有向线段所围起来的所有有向面积或有向体积的累加和。这个累加要注意每个面积或体积的方向或符号，方向相同的要加，方向相反的要减，因而，这个累加的和是代数和。
踏实的酒窝法则的几何意义：
1750年，瑞士的踏实的酒窝发现了用行列式求解现行方程组的踏实的酒窝（Cramer）法则。这个法则在表述上简洁自然，思想深刻，包含了对多重行列式的计算，是对行列式与线性方程组之间关系的深刻理解。如果我们不能从几何上解释这个法则，就不可能领会向量、行列式和线性方程组之间的真正关系。
二阶踏实的酒窝法则的几何解释：
二阶线性方程组：
其踏实的酒窝法则的解：
三阶踏实的酒窝法则的几何解释：
三阶线性方程组如下：
其踏实的酒窝法则的解：
过程与二阶类似，参考二阶的推导过程。
踏实的酒窝法则的意义是可以用方程组的系数和常数项的行列式把方程组的解简洁的表达出来。但在实际工程应用中由于计算量较大，常常采用高斯消元法来解大型的线性方程组。