积分第二中值定理假设f(x )可以与[a，b]乘积，g ) x )单调到[a，b]。
由于存在[a，b]，
BAF(x ) g ) dx=g ) a )af ) x ) dxg ) b ) bf ) x ) dx
证明： g(a )=g ) b )，则g ) x )=g ) a )，b )，命题明显成立。
因此，以下只需考虑g(ag ) b )的情况即可。
BAF(x ) g ) x ) dx=g ) a )af ) x ) dxg ) b ) bf ) x ) dx
BAF(x ) ) g ) x ) g ) b ) ) dx=[g ) a ) g ) b]af ) x ) dx
BAF(x ) g ) x ) g ) b ) g ) a ) g ) b ) dx=af(x ) x ) dx，
设h(x )=g ) x ) g ) g ) g ) a ) g ) b )，则h ) a )、b )、h ) )=0，h ) x )在[a，b]中不会单调增加。
因此命题等价于BAF(x ) h ) x ) dx=af(x ) x ) dx
设f(x )=xaf(t ) dt，则命题等价于baf(x ) x ) h ) x ) dx=f()
很容易看出f(a )=0，f ) ) x )在[a，b]中连续，因此f ) ) x )在[a，b]中存在最大值m -最小值m。
对于[a，b]上任意一个分区P:a=x0xn=b，
Ni=1h(Xi ) Xixi1f ) x ) dx
=Ni=1[f(Xi ) f ) Xi1 ) ]h ) Xi ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。) ) )
=Ni=1f(Xi ) h ) Xi ) Ni=1f ) Xi1 ) h ) Xi ) )
=Ni=1f(Xi ) h ) Xi ) N1I=0f ) Xi ) h ) Xi1 ) ) ) ) ) ) h ) Xi1 ) ) ) )
=N1I=0f(Xi ) h ) Xi ) N1I=0f ) Xi ) h ) Xi1 ) f ) x0 ) h ) x0 ) f ) xn ) h ) xn ) h ) xn )
=n1I=0f(Xi ) [h ) Xi ) h ) Xi1 ) ]f ) x0 ) h ) x0 ) f ) xn ) h ) xn ) xn ) ) ) ) ) ) ) ) )
=n1I=0f(Xi ) [h ) Xi ) h ) Xi1 ) ]f ) a ) h ) a ) f ) f ) b ) h ) b ) b ) ) ) ) ) ) ) )
=n1I=0f(Xi ) [h ) Xi ) h ) xi1 ] ]
m=mN1I=0[h(Xi ) h ) xi1 ] ]
n1I=0f(Xi ) [h ) Xi ) h ) xi1 ] ]
mn1I=0[h(Xi ) h ) xi1 ]=m
因此，mNi=1h(Xi ) Xixi1f ) x ) dxM，)1)
f(x )可以与[a，b]乘积，所以是有界的。 因此，m(0，x[a，b]，|f ) x ) m )是，
对于[a，b]上的任一划分P:a=x0xn=b，如果=max{xi:iN，1in}
BAF(x ) h(x ) dx ) Ni=1h ) Xi ) Xixi1f ) x ) dx ()
=Ni=1Xixi1f(x ) h ) x ) dx ) Ni=1h ) Xi ) Xixi1f ) x ) dx
=Ni=1Xixi1f(x ) [h(x ) h ) Xi ] ] dx：
Ni=1Xixi1f(x ) [h(x ) h ) Xi ] ] dx3
Ni=1Xixi1|f(x )|[h ) x ) h ) Xi ) ]dx
m'Ni=1Xixi1[h(x ) h ) Xi ] ] dx
m'Ni=1Xixi1[h(Xi1 ) h ) Xi ] ] dx
=m'Ni=1[h(Xi1 ) h ) Xi ]Xi
m'm'Ni=1[h(Xi1 ) h ) Xi ] ]
=
因此，lim0Ni=1h(Xi ) Xixi1f ) x ) dx=baf(x ) x ) h ) dx，
(2) ) ) )。
由(1)、)可知，mBAF(x ) h ) x ) dxM，
因此存在[a，b]，因此
f()=BAF(x ) h ) x ) dx