前言(想起接收本时，不定积分的计算让我很痛苦。 现在好一点了。 遇到了大部分问题，我知道该怎么解，但有些问题是真实的，让我有点烦恼。 我在这里写了一篇长篇文章来进行对症治疗。 也请大家协助。 参考文献放在最后
这可能是史上最长的文章
这可能是我近一年来最后一次写大文章了
今年要考研了，请让我自私一次。 今后句子会更少。 非常感谢。 大家的支持，核心
正文：
)用紧致微分法求不定积分
解题思路：将被积函数与相似基本积分公式进行比较，在被积函数中找到复合函数。 高概率复合函数是一个突破口，用复合函数以外的元素集合复合部分，通过使用基本积分公式得到退化效应
我把常见的求和微分形式放在这里
1.
分析表明，sin5x为复合函数，复合部分为5x
正好5x的导数是5，也就是5dx=5x C，所以把5放在微分之后
设5x=u，采用sinx=-cosx C基本积分公式求解
熟练后中途设置u这一步就不用写了
2.
复合函数为cos(2x-/4)，复合部分为2x-/4
放眼望去什么都没有啊。 此时，(2x-/4)的导数是谁？
是2吧。 /4是常数，常数的导数为0，2dx=2x C
出来的两倍之前乘以1/2的平衡系数就可以了。
3.
千万不要被他的外表吓到。 请认为100次方很费解
还是冷静分析，复合函数为(1x ) ^100，复合部分为1x
剩下的部分有x。 回想2x的原函数，不是1x吗？
前面乘以1/2的平衡系数就完成了
4.
乍一看，这个问题是(e^ ) e^x ) x )什么
但是如果我们能联想到指数函数的性质
我觉得那没问题
5.
这个问题的特点是分母是两个部分相乘，分子里什么都没有
正好解决这个问题的关键不是cosx，而是去收集1 tanx。 你要知道
6.
正题的难点在于，如果不知道复合部分和剩下的部分是什么关系的话
很难处理，容易变得复杂，使用的guo'ch
7.
本题是一种题型，需要注意。 我在上一篇文章中提到过。 链接如下
不定积分—sinx和cosx类型(可单击) ) ) ) )。
把我总结的结论放在这里，我觉得没问题
8.
这个问题显然比前面几个要难一点，但是制作本体的关键是知道两个公式
9.
这其实和BT型一样。 我曾经收集过微分，但是我怎么也找不到收集的方法
本质还是找复合函数的复合部分与其他部分比较寻找关联
10.
这是我说的BT的问题。 不看答案的话，就想不起来到底该怎么收集
非常烦恼，几天后回头看，我想没什么印象
—用变量代换法求不定积分
解题思路：比较与被积函数相似的基本积分公式是建立该题型的基本思路
关于变量的置换方法，一般的变量置换表如下所示
11.
12.
13.
14.
15.
16.
本题非常典型，是标准的变量代换方法，但实际上求和微分与之略有交集，本质都是代换，遇到根号条件反射，想起整体代换，分子要与分母相抵，必须想好n-n技巧，再用基本积分公式计算
17.
要学着用鸭子，如上所述，遇到根茨会想什么？ 是的，回想一下整个根号的置换。 因为去掉根号鸭，在不定积分号的外侧给出常数，用基本积分公式计算就可以了
18.
遇到a-x时，考虑三角置换，如果x=asint，则dx=acostdt。 三角置换方法就放在这里
另外，解决这个问题需要公式，需要注意几点
ln(a*b )=lna lnb，ln ) a/b )=lna-lnb
19.
遇到ax，考虑三角置换，如果x=atant，则dx=asectdt
center">具体不会的操作可以看上面的我用ipad截图的图片，相信会对你有帮助
20.
遇到x²-a²，要想到三角代换，令x=asect，则dx=asecttantdt
这里需要注意的是这里是-9，是3的平方，要设a倍的时候记得注意为3
21.
若m是分子中的最高次幂，n是分母中最高次幂，当n-m>1时，用倒代换90%成功
原本答案最后一步写的比较跳跃，我这里展开写了，应该不会觉得突兀了
22.
遇到这种题型呢，看分母有个很明显的特征，n次多项式，一般有两种思路，能因式分解就因式分解，不能的话只能凑完全平方公式然后用基本积分公式来求解，分母比分子的次数要大于1阶，所以可以用倒代换来进行求解
23.
一题多解是我向往喜欢的理想题型，这个题目就很典型，你也可以选择整体替换，你也可以三角代换，希望大家能灵活运用方法
24.
遇到根号，里面的项无法因式分解(a²-b²=(a+b)(a-b))，所以只能凑完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b²，然后凑基本积分求解即可，这个题另外的一个特点是分母的次数较高，也可以尝试倒代换，这个题目也很好
25.
这个题的确有点难想，我跟你分享一下我怎么想的，首先没法换元，可以考虑根式替换，但这个题有个更显著的特点，你看复合函数部分，(1+cosx)'=-sinx，假如分子要是也有个sinx就好了，那就分子分母同时乘以sinx，那分母的sin²x该怎么办怎么处理啊！别忘了一个最基本的公式sin²x+cos²x=1，那么推出sin²x=1-cos²x，还有后面的√1+cosx=u，那么推出cosx=u²-1，遇到cos²x直接替换即可，可能还有小伙伴不会因式分解的，这个需要自己在下面补习了
26.
不仅可以倒代换，三角代换，如果遇见指数较多的情况还可以指数代换，效果也不错
那么把指数替换的一些技巧放在下面以供参考
27.
这个题相较于前面的指数替换要稍微复杂一些，用了两次替换然后求解更容易一些
题型Ⅲ—利用分部积分法求不定积分
解题思路：(1)首先要将它写成∫udv(或∫uv'dx)的形式
(2)多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出。
(3)用分部积分法有时可导出∫f(x)dx的方程，然后解出。
(4)有时用分部积分法可导出递推公式
28.
本题属于典型的用分部积分法，因为标志是被积函数中
还记得分部积分法确定U的口诀吗？对了，反对幂三指(指三)
当一个被积函数中出现三角函数和指数函数的时候是同一优先级
可以看我下方的文章链接，还有表格法，相信你已经想到了
分部积分法(指三or三指)(可点击跳转至该文章)
分部积分法—公式法与表格法的终极对决(可点击跳转至该文章)
分部积分法之表格法(可点击跳转至该文章)
该题目的表格法如上
29.
这个题看着是蛮多项的哈，其实你也可以按乘法分配律一个个展开，然后相当于算三个小的不定积分题目，其实我觉得拆开更简单一点吧
30.
还是按照一般的套路，口诀，反对幂三指，这个被积函数里只有幂函数和反三角函数，因此反三角函数当U，幂函数当V，然后对其化间即可
31.
这种题又是不定积分中的另一类题型，是回头积分型，也就是说积着积着等号两边出现相同的部分，此时一定要注意不要不看你算的，一直循环下去就没完没了了，移项到等号的一边除以系数即可求解，不熟悉这套路的话我再给你举个例子，如下题
32.
相信你上面的那个题如果会的话，这个题也应该不在话下啦哈哈哈
这虽然并不是看起来表面上有两种函数，但你知道的其实相当于已经凑好了
旧文新发--分部积分法(可点击跳转至该文章)
如果对分部积分法不是那么了解，可点击本篇文章里有详细介绍，还有视频
33.
这个题的要点在于如何处理sin2x，高中的时候我们背过一个公式
叫做sin2x=2sinxcosx，相信这个公式对你来说一定没有那么陌生
然后其实相当于把sinx当作t来运算了，熟练了就像这样不用设t了
34.
这个题遇到两项之和可以试着拆开分别积分，前面的题也有这样做的
还有分母1±cosx一定要条件反射想到半角公式，不用问为什么就是这样
35.
如果最后一步觉得突兀的话，那是因为用到了这个公式
所以啦公式，还是那句话不能死记硬背，我都没想起来要用
我是翻了翻书才发现，诶，回头还得从新推导一遍
题型Ⅳ—利用恒等变形的不定积分
解题思路：要熟记以下的公式以及常用的恒等变形
36.
这种题型需要你一上手来进行一个恒等变形然后求解，在上面我们也说过一种情况是令e^x=t来进行换元，具体问题具体分析
37.
这个题目你也可以按照下面专门一个类型叫做部分分式来进行求解，其实前三部用脱式除法就能完成，具体的做法看我文章后半部分的专门例子吧
38.
这个题按说可以用根式替换，看我下面的另外一种解法
39.
这个题突破点是arctan1/x，我们知道arctanx的导数是1/1+x^2，从这里下手应该会简单一些，剩下的就不用我说了，基本公式
40.
这个例子很入门也很经典，希望大家能通过这个栗子对恒等变换有一个深深的记忆
题型Ⅴ—有理函数的不定积分
解题思路：
第一步——首先观察分子与分母的最高次幂的大小，如果有必要请做除法。那什么情况下有必要呢？
若分子的最高次幂小于分母的最高次幂，那么你运气很好直接进入第二步。
若不是，就要进行多项式的除法，然后再进入第二步。
第二步——对分母进行因式分解，使用二次公式或者猜想一个根，然后再做除法，以便因式分解被积函数的分母。
第三步——分部，像之前的描述那样，分别写出带有未知常数的“分部”，写下来一个像这样的等式：被积函数=分部。
第四步——计算常数的值，把方程两边同时乘以分母，通过任一方法计算常数的值：(a)换掉x的值；(b)系数相等法；或者结合使用(a)和(b)两种方法，现在你能用几个有理函数的和来表示这个被积函数，这些有理函数可能是分子为常数，分母为线性函数的幂，或者分子为线性函数分母为二次函数。
第五步——求解分母为线性项次幂的积分，求解分母是线性函数次幂的积分，答案将会是对数形式或该线性项的负次幂。
第六步——对分母是二次函数的被积函数求积分，对于分母是二次函数且不能因式分解的被积函数求微分，先配方，再换元，然后把它尽可能分解为两个积分，前者会涉及对数，而第二个会涉及正切函数的反函数，如果仅仅有一个积分，它可能是对数形式又可能是正切函数的反函数形式，这个公式通常是非常实用的。
有的题目是不需要都要经历这六步，有时候可能直接跳到最后一步
但下面这个题是要完整经历的吖
感兴趣童鞋们可以做做
41.
这种题目，在于观察分子与分母的关系，例如差了哪些项，差了几倍，然后+n-n技巧，跟分子分母相消拆成若干个小式子分别求不定积分
42.
这个题看到分子和分母既不是差几项几倍的关系，不妨同乘同除一些东西会有不一样的效果，然后再用完全平方公式进行凑，最后基本积分公式解决
43.
遇到这种假分式(“分子最高次幂比分母要高的”)，要用除法脱式计算把他拆成一个整式和一个真分式之和，具体的详细操作，我把文章链接放在下面，非常详细
有理函数积分的完整方法(可点击跳转)
只要你有耐心看相信你会看懂的，这种题型都是一个套路
44.
这个题目难度蛮大的，主要考的是分母的因式分解还有完全平方公式
45.
凡是三角函数都能用第二个方法万能公式来解，理论上
但实际上可能操作起来比较麻烦，到万不得已的时候不要用第二种方法
46.
分母因式分解，通过待定系数法确定各个项的式子，也可以设特殊值来求解未知项
47.
分子次数跟分母次数差一次，就能凑微分了，也可以分母因式分解，但可能比较麻烦
48.
分母是两项相乘，就直接拆开，然后平衡系数，并逐项求不定积分
49.
主要用的是倍角公式，然后逐项拆，再用万能角公式
50.
看到括号里的部分，然后+n-n，做好几次这个方法，逐项求不定积分
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