本文来自扬哥去年生日发的推送，主要整理了曲线曲面积分和重积分的各种计算方法及对应的一些联系，题目大多来自每日一题和如意棒棒糖，还有一部分是华师大教科书的例题。
在计算问题上，对称性必须放在战略的高度。 其次，计算首先要充分掌握秧歌计算中有一系列三角函数积分技巧：
1. 空间第二型曲线积分
秧歌如果出题的话，一定会参加空间第二型曲线积分的计算。 因为它涉及几乎所有的曲线曲面积分和重积分方法。 今天秧歌从空间第二型曲线积分入手，梳理曲线曲面积分与重积分的联系及各自的计算方法。
1.1参数法
空间第二型曲线积分最基本的计算方法是将参数化为定积分，这与平面上的曲线积分相同。 最关键的是如何得到曲线的参数方程，看一个难题：
通过这种正交变换得到的曲线参数方程的题目比较少，对于常用的参数法题目，大家应该比较熟悉。
1.2斯托克斯定律
学习斯托克斯公式后，发现空间第二型曲线积分还有一个非常重要的方法——被转化为第二型曲面积分。 此时，要求积分曲线为周线，被一个面包围，该面是变换为第二型曲面积分的积分区域。 例题见后面的2.3。
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首先，我们知道第二型曲面积分有一个方向，其含义是流经一个曲面的磁通量。 一般规定为：
这就是秧歌课上所说的流水问题，通常定义为：流向“上”为正，流向“下”为负，关闭曲面时，流向“外”为正，流向“内”为负。 2.1是双重积分
第二型曲面最基本的方法是通过搜索投影求二重积分。 注意，如果：个曲面是x=c的一部分，则知道此时x'=0，即dx=0，所以对于曲面积分，dxdy和dzdx两个项直接为零，而对于p(x，y，z ) dzdx的积分也是同样，y或z为常数时也是如此。 让我们看一个简单的例子。
2.2对称性
第二型曲面积分在侧面考虑越多，对称性就越麻烦。 此时，不仅要考虑对称点处函数值的正负，还要考虑对应的dydz dzdx dxdy的正负，为了保持自信需要大量的练习。 让我们看看两个例子：
首先看如意棒棒糖关于第二型曲面积分的描述和例题：
而且，在每天问题中，关于第二型曲面积分对称性的例题(这个问题用高斯式也可以解决) ) :
2.3取第一型曲面积分
第二型曲面积分可以作为第一型曲面积分，这是一个极其容易被忽视的点。先来看一个简单的例子：
1.2中，论述了空间的第2型曲线积分可以通过斯托克斯进行第2型曲面积分，但是此时的大多数第2型曲面积分都是采用第1型曲面积分更方便直接，甚至必须采用第1型曲面积分。现在，我们来看一下第2型曲线积分的计算
2.4高斯公式
第二型曲面积分的另一个极端重要的方法是利用高斯公式化为三重积分，这是所有同学都喜欢的方法，但有几点需要注意。 应该注意的是，根据高斯公式的条件可以看出：
“封闭”自不必说，互补问题是众所周知的。 另外，“外侧”也几乎能注意到方向问题。 另一方面，如果积分函数在积分区域内“连续”，就会出现空闲的问题。 具体为：
普通的真题是：
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3.1对称性
第一型曲面积分的对称性相对于第二型，没有侧问题，只需考虑积分函数的对称性即可。 看如意棒棒糖上的讲解和例题：
接下来来看看扬哥每天的问题例题：
3.2取双积分
第一型曲面积分最基本的计算方法是与第二型曲面积分同样地成为二重积分。 此时，注意公式：
关于z=z(x，y )的类型比较简单，但下一个主题不是：
3.3 .取第二型曲面积分
说到上述两种曲面积分的联系，使第二型曲面积分化为第一型曲面积分是极其重要的，但却是容易被忽视的计算方法。 但是，相反，如果将第一模曲面积
第二型曲面积分, 这其实很明显. 来看下面的例题:另外, 第一型曲面积分化为第二型曲面积分以后, 再结合高斯公式就有如下一类一瞪眼儿的问题:
4. 重积分
重积分分为三重积分与二重积分, 它们的计算方法就是两种: 一种是化为累次积分, 一种是变量变换. 其中变量变换涉及到了雅克比行列式, 一定不能忘记. 二重积分的含义是曲顶柱体的体积, 而三重积分的含义是体积.
4.0 对称性
关于重积分的对称性较为简单, 这里不再赘述.
4.1 化为累次积分
二重积分化为累次积分是简单的, 来看课本上的两个例子:
对于三重积分化为累次积分, 其有 1+2 和 2+1 两种情况, 即对应的投影法与截面法.
具体用那种要视积分区域的形状和积分函数的性质来确定, 来看具体例子:
另外, 变量变换中的柱坐标变换其实就是三重积分化为累次积分的应用. 所以扬哥很少使用柱坐标变换, 遇到类似的问题直接化为累次积分进行解答. 一个简单的例子如下(注意旋转面方程一定要会写):
4.2 变量替换
变量替换是重积分最重要的计算方法, 多数的题目都会化为三角函数的积分, 而三角函数的积分自然是用扬哥计算有一套轻松搞定.
首先看二重积分的变量变换问题:
4.2.1 普通变量变换
4.2.2 极坐标变换
极坐标是多数同学高中没有接触过的知识点, 所以难免有些生疏. 这里为了提高大家对极坐标的理解, 先分享关于二重积分通过极坐标变换化为累次积分的例子, 希望大家真的可以学会处理:
关于重积分的变量替换题目, 有一类涉及到了求体积问题, 我们放在之后的 4.3 进行讲解. 下面是极坐标的一个典型应用:
接下来我们看三重积分的变量变换:
4.2.3 普通变量变换
先看定理:
两个简单的例子如下, 一瞪眼儿的事儿就不给大家找答案了.
4.2.4 球坐标变换
关于三重积分的变量替换, 更常见的是用于求体积问题, 这我们单独拿出来介绍.
4.3 求体积问题
关于求体积的问题, 按说是三重积分的问题, 但某些由于题目的特殊性, 我们直接将其化为了二重积分. 来看例题:
广义极坐标变换的雅克比行列式也要记住, 下面的例 6 也可以用广义球坐标替换.
千呼万唤始出来, 我们看三重积分的球坐标与广义球坐标替换:
关于球坐标替换, 需要掌握对应变量的具体含义, 我们拿一个好题来强调:
另外, 关于求体积问题, 每日一题上也有说到:
5. 第二型曲线积分
曲线积分分为平面和空间的两类. 回应开头, 我们讲了空间第二型曲线积分的参数法与斯托克斯公式法.
5.1 参数法
对于平面的第二型曲线积分, 依旧可以用参数法化为定积分. 这很简单, 举一个课本的例子吧!
5.2 对称性
第二型曲线积分的对称性与第二型曲面积分类似, 在对称点处除了考虑积分函数的正负, 还要需要考虑对应点处 dx, dy, dz 的符号, 来看一个经典的例子:
5.3 化为第一型曲线积分
这需要注意两类曲线积分的联系, 扬哥每日一题上是这样讲的:
5.3 格林公式
对应斯托克斯公式, 平面上的第二型曲线积分可以利用格林公式化为二重积分, 这是非常重要的一类题, 其类似前面 2.4 高斯公式的应用:
同时, 对比 3.3, 利用两类曲线积分与格林公式, 还有如下一类显而易见的问题! 注意学习内积的处理手段.
5.4 曲线积分与路径无关
曲线积分与路径无关的题目, 一定要用找出原函数的方法. 否则, 有可能题目会变得非常麻烦. 来看扬哥每日一题的阐述:
接下来是一个真题:
6. 第一型曲线积分
6.1 化为定积分
如果在学习定积分应用的时候掌握了弧长微分, 那第一型曲线积分的计算公式将变得显然:
6.2 对称性
第一型曲线积分的对称性与第一型曲面积分类似, 这里只需要考虑被积函数的在对称点处的符号即可. 来看例子, 这是扬哥考研时的真题:
补充
1. 要知道一个参数的方程为线, 两个参数的方程为面, 三个参数的方程为体. 同时注意 F=F(x,y) 与 F(x,y)=0 是完全不同的, 前者是两个变量, 而后者是一个变量, 比如 z=x+y 这是二元函数, 但是 x+y=0 却等价于 y=-x, 这是一元函数.
2. 举个例子: 曲线积分在 x^2+y^2=1 上积分, 那么被积函数只要出现 x^2+y^2, 就可以直接带入 1, 但对于二重积分, 一般都是在 x^2+y^2=1 的内部积分, 这时候其实是 x^2+y^2≤1, 做极坐标变换 x=rcos(θ), y=rsin(θ), 是关于 r, θ 的两个变量, 此时积分函数出现 x^2+y^2 的话, 应该是等于 r^2, 其中 r∈[0,1] 是需要进一步积分的. 同理, 曲面积分与重积分也有类似区别.
3. 关于曲线的切线, 曲面的切平面问题, 都可以用隐函数知识点搞定, 但是有一类一瞪眼儿出结果的问题需要大家额外注意. 这扬哥从平面几何的抛物线说起吧!
上述的结论也可以推广到立体几何中, 扬哥举两个例子:
由此结论, 可以搞定如下的这类题:
还有下面的这个真题:
4. 扬哥考南开时遇到的题目, 很多学校考研都考过类似的问题:
完全一样的方法, 请大家做下面的变型:
5. 综合性问题, 需要结合高代, 扬哥这样讲: