【摘要】等价无穷小具有优良的性质，利用这些性质，无论是在求极限的运算中，还是在正项级数的收敛性判断中，都能得到意想不到的效果，达到大厅塔定律无法替代的作用例如，通过比较等价无穷小在不同情况下的应用和应用过程中需要注意的一些性质条件，不仅可以简化这些复杂的问题，而且可以避免错误地应用等价无穷小。
【关键词】等价无穷小、极限、洛维塔定律、正项级数、比较检验收敛法。
Comprension，expandandapplicationofequivalentinfinitesimal ' s角色。
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等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一，而高等数学中等价无穷小的性质只出现在“无穷小的比较”中，其他地方似乎没有涉及到。 其实，在判断广义积分、级数的收敛性上，特别是在求极限运算的过程中，无穷小具有优良的性质，掌握并充分利用这一性质，可以简化复杂问题，事半功倍。 相反，有时错误百出，很难判断错在哪里。 因此，为了恰当地运用并简化运算，有必要深刻认识和理解等价无穷小的性质。
1 等价无穷小的概念及其重要性质1
无限小的定义是以极限的形式定义的，当xx0时(或者当x时，limf(x ) x )=0时，函数f ) x )当xx0时)或者当x时称为无限小。
当lim=1时，可以说和是等价无穷小。
一般性质如下。
、'、、'、等为同一自变量变化过程中的无限小，如果存在~'、~'，且存在lim''，则在lim=lim''~、~中
给出了等价无限少量商的极限求法。 若能使用等价无穷小传递性极限的算法，说明以下结论可以继续推广。
~、~，且lim=c(-1)，则为~
lim=Li m1=lim1c 1
=lim 1c 1c=1~
另一方面，学生往往在性质(3)的应用中忽略了" lim=c(-1) "的条件，如果千篇一律设为"()，() "，则存在() -)
如果存在~'、~'，且Lima'b'c'd'，则存在a'b'c'd'0且limABCD，Limabc
该性质的证明见文献[2]，性质、在求加减运算极限中允许等价无穷小的代换，大大简化了计算。 其中，注意条件" lim=c(-1)、" a'b'c'd'0 "的使用。
2 等价无穷小的应用
2.1求极限常用的等效无穷小为x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln (1x )、1-CoSX~12x2、n1 x~1 xn、) x0 )
示例1 limx0tanx-sinxx3
解：原式=limx0sinx(1-COSX ) x3cosx
=limx0x12x2x3(sinx~x，1-cosx~x22 ) ) ) ) ) ) ) ) limx0x 12 x2x3) ) ) ) ) ) ) ) ) limx ) ) ) ) 652 )
=12
这个问题用大厅塔定律也能做，但性质不行。
tanx-sinxx3=x-xx3=
0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2
解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53
用性质④直接将等价无穷小代换进去，也可用罗比塔法则做。
例3 limx→0(1x2-cot2x)
解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x
=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4
=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)
=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2
=limx→012x2·(1+cosx)x2=1
解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x
=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4
=limx→02x(tanx-x)x44 (∵ tanx～x)
=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2
=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)
两种解法的结果不同，哪一种正确呢？可以发现解法1错了，根源在于错用sinx-xcosx～x-xcosx (注意limx→0sinx-xcosx=-1), 由性质③ sinx-xcosx并不等价于x-xcosx 。 从解法2又可以看到尽管罗比塔法则是求极限的一个有力工具，但往往需要几种方法结合起来运用，特别是恰当适时地运用等价无穷小的代换，能使运算简便，很快得出结果。
2.2 在正项级数的审敛判别法中，用得比较多的是比较审敛法的极限形式，它也是无穷小的一个应用。
比较审敛法的极限形式：设∑∞n=1un 和∑∞n=1vn 都是正项级数， ① 如果limn→∞unvn=l(0≤l<+∞) ，且级数∑∞n=1vn收敛，则级数∑∞n=1un收敛。
② 如果limn→∞unvn=l>0 或limn→∞unvn=+∞，且级数∑∞n=1vn发散，则级数∑∞n=1un发散。当l=1时，∑un，∑vn就是等价无穷小。由比较审敛法的极限形式知，∑un与∑vn同敛散性，只要已知∑un，∑vn中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性。
例4 判定∑∞n=11n2-lnn 的敛散性
解： ∵ limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1 又∑1n2 收敛 ∴ ∑∞n=11n2-lnn 收敛
例5 研究∑∞n=11ln(1+n)的敛散性
解： limn→∞1ln(1+n)1n=limn→∞nln(1+n)=1 而∑1n 发散 ∴ ∑∞n=11ln(1+n) 发散
3 等价无穷小无可比拟的作用
以例3看，若直接用罗比塔法则会发现出现以下结果：
原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx
=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越变越复杂，难于求出最后的结果。而解法2适时运用性质①，将分母x2tan2x替换成x4，又将分子分解因式后进行等价替换，从而很快地求出正确结果。再看一例：
例6［3］ limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）
=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）
=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）
=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）
=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。
∵ x～sinx～tanx(x→0)
∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。
由此可看到罗比塔法则并不是万能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性［3］。只要充分地掌握好等价无穷小的4条性质就不难求出正确的结论。
【参考文献】
1 同济大学应用数学系，主编.高等数学.第5版.北京：高等教育出版社，2002,7（38）：56～59.
2 凶狠的黑夜，等.价无穷小量代换定理的推广.甘肃高师学报，2005，10（2）：11～13.
3 怕孤单的飞鸟.用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨.黔西南民族师专学报，2001，12（4）：56～58.