去年9月，对申请牛剑数学科的熊的孩子们进行指导后，发现积分计算法则中有小偷。 但是，因为我完全没有问这些规律的经过，所以我也不知道这种心情。 因此，通过在熊宝宝纸上求出一系列矩形的面积和，试着推测了某个函数曲线下的面积。 然后，考虑到无限分割的极限，证明了一个简单初等函数的定积分结果。
以下分别提供证明。
碎念：这个公众号的画风现在越来越自我娱乐化了。
定积分的公式设定连续函数
中有定义。 划分为等间隔的小区间，如果其中第一个区间的范围为，则该区间内曲线下的面积与矩形的面积大致相等。 将所有矩形相加，可以得到区间内曲线下面积的近似值。
如果我们分割得越来越细，就马上拿走
如果有极限的话，可以得到这个面积的准确值。 这意味着：
公式成为导出积分公式的中心公式。
的导出会
要代入公式(4)，需要处理类似形状的计算。 为此，首先在考察之前
个自然数的平方。 利用二元展开，注意到了以下事项
格式-单元格。 这里表示以下项目。 所以有：
我们应该
情况都排好了：
把上述等式全部加起来，把左边一个个擦掉，很容易发现剩下的只有两个。 右边在前面
自然数的乘方总和：
这使我们能够对数列
估算的最高项。
上述证明需要证明剩余项之和确实不超过。 假设公式(5)的结论，用数学归纳法完成证明，证明过程的细节可以留给读者。 现在我们已经准备好了，可以着手计算积分了。
结果一目了然：
这是一个为大家所熟知的结论。
的导出是
利用(4)式，我们有以下情况。
方括号内为公比
的等比数列，可以很容易地求出其和：
于是，(7)式的积分可以进一步写成如下
或者，可以命令
有。 意识到的时候，有了。 因此，上式极限
回到上面的积分结果，我们得到了以下内容。
的导出
利用式(8)的结论，可以立即得到这两个三角函数的定积分的结果。
注意到了
因此，考察积分，得到结果后，取各自的实部和虚部就可以得到和。
抽取实部和虚部，我们马上就能得到
在上述三角函数的定积分计算中，利用指数函数定积分的结果，不讨论实域中指数函数的积分，直接挪用于复域中的指数函数。 这个结果是正确的，但其实这中间的逻辑并不严密。 感兴趣的读者可以查阅复函数中的指数函数
的定义及其性质。 另一方面，计算三角函数的积分时，实际上可以直接使用用无限分割的方法暴力地求和，取极限得到正确的结果的式(4)。 下面介绍相关的导出过程。
试考察的导出(下)预备定理
中选择所需的墙类型。 挂在所有项目上
使用三角函数的乘积化和差的公式，我们有。
重用与差别乘积公式：
进一步简化：
从这里可以得到：
可以使用同样的技巧得到正弦函数级数和的公式。 证明过程留给读者作为练习，这里只给出结果。
其实上面两式的证明还有一种想法。 注意到了
也就是说，和分别是多个实部和虚部。 因此，可以将上述和公式变换为等比级数之和。
抽取实部和虚部后，立即得到(9)式和(10 )式的结果
定积分的导出
在式(9)中
我们有
在右边式中，最初的极限可以很容易地求出
利用
的结论也可以用第二极限求出
将这些结果返回[11]式
最终结果：
定积分的导出
的结果用同样的无限分割加法方法完全可以证明。
具体细节留给读者作为练习。