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极限语言只能证明极限，不能求极限。 对于简单函数的极限问题，可以先用观察法看其极限，再用极限语言证明，但对于复杂形式的函数，观察其极限并不容易。
因此，有必要研究函数极限的算法。
【声明】
1、以下讨论只给出了函数极限的算法，这些规律可以相应地移植到数列极限。
2、在接下来的讨论中，如果自变量的变化趋势没有如下所示，则表示正确和正确成立。
【定理1】有限个无限小之和仍然是无限小。
【证明】考虑无穷小之和有两个的情况。
而且，假设都是当时的无限小。
根据无限小的定义，
只要拿走，就有了
这表明了当时的无限小。
必须指出：个无限小之和不一定是无限小。
【定理2】有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小。
【证明】设函数在的某个邻域内有界
当作当时的无限小。
以下证明时间的无限小
根据函数有界的定义，有：
根据无限小的定义，
取，因此
这表明了时间的无限小。
【推理1】常数和无限小的乘积是无限小。
【推理2】有限个无限小的乘积是无限小。
有一个问题：无限多的无限小的积是无限小的吗？
表面上，这个问题的答案很明显。 也就是说，是无限小的。 其实不然。 因为没有定义无限数的乘法。 也就是说：我们不做无限数的乘法。
【定理3】(极限运算的分配律)
存在、且
请参阅。
【证明】因、极限存在与无穷小的关系定理有：
(无限小() ) ) ) ) ) ) ) ) )。
于是
定理1是无穷小
定理2的推论1是无限小的，
根据定理1，无穷小
总之，是无限小。
要利用极限和无穷小的关系
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(1)、都存在就存在。
) 2、存在、不存在、不存在。
【反证法】记，假设存在
或者
因为与共存在，所以根据【定理3】有：
它是存在的。 这和条件矛盾，所以不存在。
)3)、如果不存在，也有可能存在，也有可能不存在。
【反例】的话，很明显，什么都不存在
但它是存在的，
不存在
【定理4】
存在、且
请参阅。
定理四也有与定理三完全相同的四点注释，它有两个重要的推论。
【推理1】
如果存在，则为常数。
【推理2】
如果存在，则为正整数
数，则。【定理五】
若，，且，则 存在，且
对商的极限运算法则， 应注意条件:
(1)、极限 均存在。
(2)、作分母的函数 的极限 。
当这两个条件中有一个不满足时， 不可使用商的极限运算法则。 这一点在初学时很容易被忽视。
【定理六】
如果 ， 而 、， 则 。
【证明】 作函数 ， 且 。
由极限的保号性有: ， 即
故 。
必须指出：即使不等式 严格成立， 结论仍然是，不可以认为是 。
例如：、表示圆的内接、外接正n边形的面积， 而表示圆的面积。
显然， ，但 。
运用上述结论，可帮助我们求大量的函数极限，大大地提高了求极限的能力，也避免了使用繁冗复杂的极限语言。当然，这些结论的获得得益于极限的精确语言。
首先，我们证明一个最基础，也最有用的结论:
设 是任意实数，则
【例1】
此极限可作一般性的推广：
【例2】
可对此例作一般性的推广:
设 是有理分式函数， 与 为的多项式，若 ， 则 。
【证明】由定理5与例1， 有
【例3】 求
【例4】
对于有理分式函数，当时，不能使用商的极限法则来求极限。例题三、例题四给出了解这类问题的两种基本方法：
转自：
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