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例1 ) )对实数是否取共轭是相同的。 但是，关于复数，为了保证得到的结果在0以上，必须取共轭)
例2 )内积的定义方法通常不唯一，但为了给出常用的矩阵内积的定义，我们先来看一下共轭转置的概念。
因此，矩阵a和b(v=Mnn ) f ) )的内积为a，b=tr ) b*a )，其中tr表示矩阵的痕迹，即对角线上的元素之和。
基于内积的重要定义(V is an inner product space ) :
Let xV，thelengthornormofxisdefinedtobex，y V is said to be垂直or orthogonal if x，y=0S V is orthogonal if x，y=0 for all x，yssx
一、内积的定义
有了内积的定义，还可以得到更泛化的Cauchy-Schwarz不等式|x，y |||| |
及三角不等式||| xy |||||||||||||y||
二、内积的一些性质
基于Thm 6.3，可以很容易地得到以下两个推论。
Thm 6.3的几何意义也非常明确。 因为span(s )是由一系列正交基(v1，v2，vk )扩张的子空间，所以对于属于s的所有元素y，都是从这一系列正交基的线性组合得到的。 组合系数是y在各个vi上的投影。 如下图(左)所示，求a向b的投影时，通常首先得到b方向的单位向量，与a内积，可以得到a向b方向的投影长度，但由于投影缺少了另一个方向(内积的结果是标量)，所以需要将另一个b方向的单位向量也就是说，这就是Thm 6.3的意思。
推论1的意思是，如果正交基{v1，v2，vk}都是单位向量，则系数的分母部分为1，因此组合系数为a，b (或a，e1 )。 例如，上面的照片(右)显示了三维空间。 我知道那个orthonormal基的集合是(E1=(1，0，0 )，E2=) 0，1 )，E3=) 0，0，1 ) }。 如果想用这个基底集表示向量A=) 6，2
a=a、e1e1 a、e2e2 a、e3e3=6e1 2e2 1e3
一看，就知道如果有orthonormal基底的话，表示方法非常简单易懂。 因此，得到orthonormal基底非常重要，但得到orthonormal基底的方法是“施密特正交化(gramSchmidt process )”，这一部分是(http://blog.csdn.NSD )
三、正交化
定理6.6的几何意义也如下图所示非常明确。 u属于w空间，z属于w的正交补空间，而且w及其正交补空间都是子空间。 为了使y=u z，一定存在u和z。
定理6.6有许多非常有用的应用，其中之一是给出了以下“最佳逼近原理”。 在讨论最kxdcs次幂问题时，也使用了这个最佳近似定理。
最佳近似原理的描述乍一看很抽象，但其几何意义实际上非常直观，情况如下图所示。
最佳近似原理的证明也非常容易，使用毕达哥拉斯定理，也就是胡克定理就可以了。
四、正交补
adjoint operator）基于Thm 6.8，我们可以证明下述Thm 6.9是正确的。
既然满足条件的T*是存在的，那么下面我们就给它一个称呼。
六、伴随算子与矩阵共轭转置的关系
在本文最开始，我们就已经介绍过矩阵A的共轭转置A*的意思。现在我们有介绍了算子T的伴随随着T*的概念。显然它们的标记符号都是一样的，这是否暗示二者之间存在着某种联系呢？下面这个定理就回答了这个问题。
这个定理表明：算子T的伴随随着T*（相对于orthonormal基底β）的矩阵表示 就等于 算子T（相对于orthonormal基底β）的矩阵表示的共轭转置。根据这个定理我们很容易得到如下推论：(LA)*=LA* 。更重要的是这个定理还为寻找T的T*提供了一种途径。
七、T*的运算性质
(T+U)*=T*+U*(cT)*=(TU)*=U*T*T**=TI*=I八、找最小解的问题(Find the minimum solution of Ax=b)
Given a consistent system Ax = b, A ∈ Mm×n, find a solution S so that ||S|| ≤ ||x|| for any x satisfying Ax = b.
一个可行的方法是找到Ax=b的任意一个解x，将其投影到Range(A*)子空间上，得到S，可以证明S就是唯一的最小解，如下图所示。
下面我们来证明S是就是最小的解。证明：易知 x=S+v, v∈N(A), S∈Range(A*)
x=S+v ⇒ Ax = A(S+v) ⇒ b = AS + Av ⇒(因为v∈N(A)，所以Av =0 ) b = AS，所以S是一个解。
Let x be any solution of Ax = b ⇒ x-S ∈ N(A) ⇒ ∃x0 ∈ N(A) s.t. x-S = x0 ⇒ x = S+x0。
由于S垂直于x0，所以根据勾股定理，||x||2=||S||2+||x0||2≥||S||2，所以S是最小解。
接下来证明S是唯一的。证明：Let x1 be another solution of Ax = b, let s1 be 投影，s.t. x1 = s1 + v1,
where s1 ∈ Range(A*) and s1 ∈ N(A)。
因为As = b， As1 = b，所以 s - s1 ∈ N(A)=W⊥。并且 s - s1 ∈ Range(A*)=W。所以s - s1 ∈ W⊥∩W={0}，即s = s1。
结论得证。
实际计算时，我们还可以采用一种更高效的方法以略去上述方法中的投影动作。如果s是一个解，则表示As=b。另一方面，s ∈ Range(A*)，于是必然有一个x1使得 A*x1= s。两边同乘一个A得到AA*x1= As。又因为As=b，于是有AA*x1=b。
由此可知，我们可以先找满足AA*x1=b的任意解x1，则最终要的解就是 s = A*x1。这个方法因为省去了做投影的动作所以是更加高效的。
Remark：AA*∈Mm×m(F)，if rank(AA*)=m, then AA* 是可逆的，所以此时有公式解 s = A*(AA*)-1b。
(本文完)
本文主要根据台湾交通大学开放课程线性代数（莊重 特聘教授主讲）之授课内容整理，并参考以下书籍：
【1】S.H. Friedberg, 欢喜的雪糕 Insel, L.E Spence, 4th edition, Linear Algebra, Prentice-Hall, 2003
【2】David C. Lay. 长情的云朵，等译. 线性代数及其应用（原书第3版），机械工业出版社，2005