6不等式
1.基本不等式
2.有关绝对值的不等式
3.有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式
4.算术平均值与几何平均值不等式
5.一些重要不等式
1.基本不等式
在以下1(5)各式中，假设为ab
1 ) acbc
2 ) ACBC(C0)； 是ACBC(C0 )
3 )、
4 ) anbn(N0，a0，b0 )； anbn(N0，a0，b0 ) ) )。
5 ) ) n是正整数，a0，b0 ) )。
6 )如设置且编号与b、d相同
2. 有关绝对值的不等式
(1)绝对值的定义
实数a的绝对值
实数的绝对值是离轴上原点的距离。
复数Z=a bi的模(绝对值) :
注：实数的绝对值实际上是复模式(绝对值)的特例。
(2)有关绝对值的不等式
)如果a，b，…，k是任意的复数(包括实数)
(b ) a，b包括任意复数)实数)的话
(c )如是，则
-bab特别是
在(d )的情况下，ab或a-b
(e ) ) )。
(f ) a，b，…，k为任意复数(包括实数)时
(g ) a，b，…，k为任意复数(包括实数)时
3. 有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式
1 ) sinxxtgx(0x )。
2 ) CoSX1(0x) )。
3 ) ) )
4 ) (-x，x0 ) )。
5 ) ) x0 ) )。
6 ) )0x ) )。
7 ) )0x1，x
8 ) ) x0 ) )
9 ) (x1，x0 ) ) ) ) ) ) )9) ) )9) ) ) )9) ) )9) ) x0 )
10 ) (n为自然数，x0 ) ) ) ) ) )。
11 ) ) x0 ) )
12 ) ) x-1，x0 ) ) ) )。
13 ) ) x-1，x0 ) ) )。
14 ) ) x-1，x0 ) ) )。
特别取(n为自然数)，有
15 ) lnxx-1(x0 )
16 ) (x1，x0 ) ) ) ) ) ) 16 ) ) ) 16 ) ) x0 ) ) ) 16 ) ) 16 ) ) x0 ) x ) ) 16 ) x ) x ) 16 ) x ) x ) x ) x )
17 ) ) n0，x0 ) ) ) ) ) ) 17 ) ) ) 17 ) ) )。
18 ) )。
19 ) )。
(以下各式中z为多个) ) ) ) ) )。
20 )
21 )
22 ) )。
23）
24）
4. 算术平均值与几何平均值不等式
1) 几个数的算术平均值的绝对值不超过这些数的均方根.
即
等号仅当 a1 = a2 = … = an 时成立.
2) 设 a1, a2,…,an 均为正数，则它们的几何平均值不超过算术平均值.
即
等号仅当 a1 = a2 = … = an 时成立.
3) 对几个正数 a1, a2,…, an 的加权平均值
有
等号仅当 a1 = a2 = … = an 时成立.
4) 设a1, a2,…, an 均为正数， ,则对n个正数的几何平均值有：
5. 一些重要不等式
1) 柯西（Cauchy）不等式
设 ai ，bi ( i=1,2,…,n)为任意实数，则
等号仅当 时成立.
此不等式说明两矢量内积小于等于两矢量长度之积.
2) 赫尔德（ ）不等式
(a） 设 ai ，bi ，li ( i=1，2，n) 为正数，又
为正数，且 ，则
等号仅当 时成立.
(b） 设 ai , bi ( i=1,2,…,n) 为正数，又 k>0， k≠1，k’与 k 共轭，
即 则
(k>1)
( k<1)
等号仅当 时成立.
3) 忧虑的银耳汤不等式
设 ai >0, bi >0 ( i=1, 2,…,n), 又 r>0, r≠1 ,
则 （r>1）
(r<1)
等号仅当 时成立.
当 r=2 时，此不等式又称为三角形不等式，表明三角形两边之和大于第三边.
4) 文艺的白猫不等式
设 ai >0, bi >0 ( i=1,2,…,n),
若 a1≤a2≤…≤an ，且 b1≤b2≤…≤bn
或 a1≥a2≥…≥an ，且 b1≥b2≥…≥bn
则
若 a1≤a2≤…≤an， 而 b1≥b2≥…≥bn ,
则
5) 甜甜的草莓（Jensen）不等式
设 ai >0, ( i=1,2,…,n), 且 0< r ≤s, 则
6) 伯努利（Bernoulli）不等式
设 a>1 ，自然数 n>1，则
特别，令 ，则
§7 数列与简单级数
1.数列与级数的概念
依照某种规则排列着的一列数a1 , a2 ,…, an ,…称为数列，记作 ． an称为数列的通项（或称为一般项），若把一数列用和号连接起来：
a1+a2+…+an+…
则称它为级数，记作 ．an称为该级数的通项或称为一般项．
2.等差数列与等差（算术）级数
名称
记号或计算公式
公差为d（常数）的等差数列 a1, a1+d, a1+2d, …, a1+(n-1)d , …{a1+(n-1)d}
等差（算术）级数 通项公式 an=a1+(n-1)d 前n项和（部分和）等差中项
3.等比数列与等比（几何）级数
名称
记号或计算公式
公比为q（常数）的等比级数a1 , a1q , a1q2, …, a1qn-1, …
{a1qn-1}
等比（几何）级数 通项公式 an=a1qn-1 前n项和（部分和） 等比中项 无穷递减等比级数的和
4.算术-几何级数
5.调和级数
(1) 若 为等差级数，则a+b+c+…称为调和级数．
(2) 设A、G、H分别为两个数的等差中项、等比中项和调和中项，则AH=G2
6.某些级数的部分和
§8 阶乘、排列、组合、二项与多项式
1.阶乘
定义
说明
0！=1 规定 n的阶乘 (-1)!!=0 规定 奇数的阶乘0!!=0
规定 偶数的阶乘注：表中n为自然数
2.排列
(a) 从n个不同的元素中每次取出k个(k≤n)不同的元素，按一定的顺序排成一列，称为排列．其排列种数为：
(b) 特别当k=n时，此排列称为全排列．其排列种数为：
3.组合
(a) 从n个不同的元素中每次取出k个(k≤n)不同的元素，不管其顺序合并成一组，称为组合．其组合种数为：
(b) 组合公式
4.二项与多项式
(a) 二项式公式
(b) 二项式系数，qjdxss三角形
我国南宋时期数学家qjdxss在他所著的《详解九章算法》（1261年）中记载着有关二项式系数的研究．在二项式公式中分别取n=0, 1, 2 ,…, 6 时，其二项式系数可表示成三角形，称为qjdxss三角形．
(a+b)0 1 (a+b)111(a+b)2121(a+b)31331(a+b)414641(a+b)515101051(a+b)61615201561(c) 多项式公式
注：和式中每一组（p , q ,…, s）对应一项，数组满足0≤p≤n, 0≤q≤n ,…, 0≤s≤n，且p+q+…+s=n．∑是对于所有这样的数求和．
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