的外积与克罗内克积外积的定义外积(outer product )是线性代数中的一个重要运算，对于n维和m维两个向量，其外积为一个nmn(timesmnm的矩阵.
两个向量u=(u1，u 2， u m ) TextBF{u}=) u_1，u_2， u_m ) u=) u1， u 2， u m )，v=) v1，v 2，v 2
或者，用索引表示，如下所示：
(uv ) Ij=uIvj(TextBF(u ) otimes ) TextBF ) TextBF ) v ) ) IJ )=) TextBF ) u ) I ) I ) ) I ) I ) TextBF ) I ) I ) I ) TextBF ) I ) I ) teo ) o )
当u textbf{u} u和v textbf{v} v被表示为列向量时，乘积与通过矩阵乘法计算的u v T textbf{u}textbf{v}^T uvT的结果等价。 例如，如果m=4，n=3
与内积不同的是，内积是通过u T v textbf{u}^Ttextbf{v} uTv计算的，结果是标量，很容易看出内积是外积的痕迹(trace )。
克罗内克积外积与克罗内克积密切相关，其算子也经常混用。 例如，
u=[ 1，2，3 ] ttext BF { u }=[ 1，2，3 ] ^ tu=[ 1，2，3 ] t，v=[ 4，5 ] ttext BF { v }=[ 4，5 ] ^ TV
实际上，如果u textbf{u} u和v textbf{v} v是列向量，则克罗内克积可以视为“外积矢量化”(vectorization )的结果。 这意味着：
由于矢量化的定义是将矩阵的各列依次向下重叠配置，所以上式的右端写作v textbf{v} v和u textbf{u} u的外积。 也可以将该关系表示为
外积的性质向量的外积满足以下性质。