Hessian Matrix具有dldlh法、极值求解、边缘检测、边缘响应消除等广泛的应用。 一个Hessian Matrix包含了许多数学相关的知识点，如蓝日记本公式、极值判断、矩阵特征值和特征向量、二次型等。 本文介绍多元分析中的极值判定、hessian矩阵与二次型的关联以及hessian matrix在图像中的应用。
1. 二元函数碧蓝的日记本公式
关于一元函数的蓝色日记本公式，大家都很熟悉。 其含义是使用多次多项式近似表示原始函数f(x )。 一元函数的f ) x )的蓝色日记本公式如下：
在实际应用中，我们一般取前面的多次多项式之和近似表示原函数f(x )。
但是，在图像处理中，应用了二元函数f(x，y )。 这里重点说明二元函数的蓝色日记本公式。
有在点的某个附近内连续且直到n 1阶的连续偏导数，如果是其附近的任何点，则有
其中的符号是，
请参阅。
通用符号表示
人生苦短，这些公式在此不作证明。 请参考相关的数学资料进行证明。
2. 极值判断
对于函数中的某一点，如果一阶导数为0，而二阶导数不为0，则该点一定是极值点。 进一步分析，如果二次微分大于0，则该点为极小值点，如果二次微分小于0，则为极大值点。 对于这些性质的描述，最直观的方法是自己绘画理解。 另外，通过公式可以提供直观的理解。 表达式并不严格，例如，对一元函数展开蓝色日记本表达式，并认定其完全相等。
关于凸函数，如果x0下的一阶为0，二阶为正，则可以判断f(x )一定大于x0下的函数值，x0可以认为是极小值点。 关于图像中的二元函数？ 我们可以类推。 根据上述二元碧蓝的日记本公式，得到二次近似式。
，关于二元函数极值的情况，可根据二次式的正负来判定。
在这种情况下，这涉及Hessian矩阵的正定和负的判断。 这里，假设对于、任意向量，zjdxy为正，则有最小值，h为正定。 如果对于任意的向量存在非负，则存在最大值，并且h确定为负。
3. 二次型的性质
上面的矩阵h是Hessian矩阵，可见其具有对称性。 二次型的矩阵也是对称的，这里主要介绍一下二次型优化，并给出了具体的例子进行说明。
最小二次函数，其中a为实对称二次矩阵，即hessian矩阵，对该问题的优化简单，最终该问题的结果与矩阵a的特征值相关。 可以绘制二次函数及其相应的等高线，如下所示。
然后求出矩阵a的特征向量[-0.7071，0.7071 ]、[ 0.7071，0.7071 ]，对应的特征值分别为0.5、1.5
您会发现等高线越密集，函数值变化越快，但该函数变化最快的方向是与特征向量[0. 7071，0.7071 ]对应的方向。 等高线越稀疏函数值的变化越慢，表示变化最慢的方向是与特征向量[-0.7071，0.7071 ]相对应的方向。 另外，矩阵特征值的大小与函数值的变化程度相关，可以观察到与大特征值对应的特征向量方向的函数值变化最快，与小特征值对应的特征向量方向的函数值变化最慢。
这里说明二次型的目的是说明Hessian矩阵的特征值、特征向量和二次型函数值的变化之间的关系。 其中，二次函数的二次偏导数构成了Hessian矩阵，即a矩阵。
4. 边缘检测以及边缘响应消除
因为在确认所检测到的对应点是边缘点之后有理由去除边缘点，所以边缘检测器与边缘响应去除的应用相同。 边缘有什么特点呢？ 如下图所示，是二维平面上的一条直线。 具体来说，图像的特征可以描述为沿直线方向亮度变化极小，与直线方向垂直，从暗到亮，从亮到暗，沿该方向亮度变化较大。 可以将边缘图像的分布特征与二次函数图形进行类比。 你知道很相似吗？ 可以找到两个方向：一个方向上图像梯度变化最慢，另一个方向上图像梯度变化最快。 那么图像中的边缘特征与二次函数的图像相对应。 其实，二次函数的hessian矩阵也是通过对二次函数进行二次偏导数得到的(可以自己求出偏导数)。 我想这就是可以使用hessian矩阵检测边缘并消除边缘响应的原因。 我想你知道了那个的理由。 还是说，数学模型其实是反映图像特征的模型。
所以Hessian matrix实际上是多元情况下的二阶导数，他描述了各方向灰度梯度的变化，这句话应该很好理解吧。 与使用对应点hessian矩阵求出的特征向量相对应的特征量中，与较大的特征值相对应的特征向量与直线垂直，与较小的特征值相对应的特征向量沿着直线方向。 对于SIFT算法的边缘
缘响应的消除可以根据hessian矩阵进行判定。关于hessian的应用基本讲完了，有问题可以留言讨论。
参考文献：
1.https://www.zhihu.com/question/40181086
2.https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%B7%E6%A3%AE%E7%9F%A9%E9%98%B5
3.http://www.zhihujingxuan.com/18143.html
4.http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_5d2990b70101c1pc.html
5.http://blog.sina.com.cn/s/blog_790bb71901015087.html
6.http://painterlin.com/2015/09/12/Intuition-of-Eigen-Value.html