假设x，y与方程f(x，y )=0相关联，则它会尝试计算dy/dx，说它定义了函数y=f ) (x )，或者隐式定义了y=f ) (x )。 如上所述，给定这样的f，一般不能明确求出y，所以在求解之前知道这样的函数存在是非常重要的。
为了更好地理解给定的结论，考虑函数f(x，y )=x2 y21，我对满足f(x，y )=0的x，y感兴趣。 在这个函数中是单位圆，且f定义域的所有x都满足f(x，f ) (x ) )时，函数f ) (x )才有解。 很明显，f的形式一定是f(x(=1x2 )，因为他们中的一个是解，所以f并不一定是唯一的。 (x0，y0 )满足f ) x0，y0 ) (f ) x，f ) x ) )是否能找到使(x0，y0 )成为0的f ) x，f(x ) )。 f是) x0，y0 ) )附近微小且唯一。 当x01时，f取适当的平方根即可。 给定的y0确定选定的平方根，如图1中所描绘，点x=1有几个特殊的原因。 首先，f在这里不是微小的，其次在x0=1附近不是唯一的。 这些地方是F/y=0的地方。 因此，我们希望确保在F/y0这样的条件下(至少局部地)可以唯一地找到函数f，以便f(x，f(x ) )变为0。
图1
一般有函数F:RnRmRm，考虑关系f(x，y )=0，或
f1(x1，xn，y1，ym ) FM ) x1，xn，y1，ym )==00
我想根据这个m个方程式以x1，…，xn的形式求出m个未知变量y1，…，ym。
定理如下。
定理2 (隐函数定理)以ARnRm为开集，F:ARm为Cp系函数(即，f具有p次连续导数，其中p为正整数)。 假设(x0，y0 ) a，f ) x0，y0 )=0，
3=3333333333 f1 y1f my1f1 ymf mym 3333
用(x0，y0 )计算。 其中f=) f1，Fm )。 假设0，存在x0的邻域宽度urn、y0的邻域宽度v和唯一函数f:UV，它对于所有的xU
f(x，f ) x ) )=0
此外，f是基于Cp的。
实际上，您应该看到上面的定义是从反函数中推导出来的。 通过上面的例子，可以看出该定理的有效性以及约束条件0的必要性。 可以根据方程式f(x，f(x ) )=0用连锁法则确定Df。 首先考虑m=1的情况，根据连锁定律
0=XIF(x，f ) x )=FXIfyFXI
所以我们得到了重要的方程式。 (请注意减号) :
FXI=f/XIF/y
这里需要特别注意。 那是
(f/Xi ) (f/y ) )。
不能消去f得出y/xi。
我们可以如上所述将一般解形式化。
推论1在定理2中，fj/xi的形式是
f 1x1 fmx1f1 xnfmxn=f1 y1f my1f1 ymf my m1 f 1x1 fmx1f1 xnfmxn
这里e1表示逆矩阵。
该推理的证明与上面介绍的m=1的情况相同。
例1 :考虑方程式
xu yv2xv3 y2u6=0=0
在x=0，y=1，u=0，v=0附近，用x，y表示的u，v解是唯一的吗？ 如果u/x在x=0，y=1的地方有解的话，求出其解。
解：这里有f(x，y，u，v )=0。 其中f表示给定方程的左半部分。 我想看看能不能解u(x，y )，u(x，y ) )。 因此
3=3333 f1 uf2u f1 vf2v 333=33 x6y 2u 52 y v3x v 23
在给定的点上那等于0。 隐函数定理表明x，y中唯一不能求u，v。
to be continue……