本文作为多元微分学的第二个总结，第一个总结就在此。 本文的主要参考文献是《陶哲轩实分析》及维基百科的相应页面。 本文的价值在于，两个定理的证明是笔者自己做的。
3358www.Sina.com/$ E$为$ mathbf{R}^n$的开集，$ f : eright arrowmath BF { r } ^ n $为$e$且可连续使用的math BF 包含subset E$和$f(x_0) $的开集$v (存在的footnote{严格说来，此时函数$ f$的定义域已从$ E$变为$ U$，但这种影响不再是同一函数} .而且$ f$的逆映射$f^{-1}3360vrighhht
Proof:首先证明存在$ Vsubset mathbf{R}^n$的开集，为$f(x_0) inv$，$ f:f^{-1}(V ) v ) right 此类$f^{-1} ) v ) )如果不存在，则对于包含$ x_0$的$)
${displaystylef(x_1)=f ) x_2(f ) ) x _2) ) x_1-x_2) o )|||x_1-x_2| ) ) ) ) ) ) )
因为$f(x_1)=f ) x_2) $，所以公式1为
${displaystylef'(x_2) x_1-x_2)=o'(|x_1-x_2|| ) ) () ) ) ) ) ) ) )。
于是
${displaystylef'(x_2) e=(FRAC ) o'(|x_1-x_2|| ) o'(|x_1-x_2||() ) )
其中$ e=frac { x _1- x _2} {|| x _1- x _2||} $是单位向量。 如果开集$ K$的直径为0
${displaystylef'(x_2) e(rightarrow0.}$
且根据导数的连续性，有$f'(x_2) right arrow f ' (x _0) $ .
$ {displaystyle f'(x_0) erightarrow 0. }$
然而，$f'(x_0) $是可逆线性映射，而单位向量$ e$通过可逆线性映射$f'(x_0) $，$|f ' ) x_0) e|||$必须是固定的正实数被证明大于或等于footnote{的frac{1}{||A^{-1}||}$其中矩阵$ A$是对应于线性映射$ f'(x_0) $的矩阵，$|| a ^ {-1
其次，$ f^{-1}$在$f(x_0) $处微小且
${displaystyle(f^{-1} ) ) f ) x_0)=(f ) ) x_0) ) ^{-1}.) ^ (()4) }$
这个比较简单。 因为$ f$在$ x_0$处微不足道
${displaystylef(x )=f ) x_0) f ' ) x_0) ) o(|x-x_0| ) }.}$
将上式稍加变形，可以证明式4，同时也可以证明$ f^{-1}$在$f(x_0) $的可微性。 关于$(box$隐函数的存在定理，是反函数定理的一个推论。 以下，关于隐函数的存在定理来自维基百科的相应页面。
Theorem 1 (反函数定理)
存在定理) 设 $ f:mathbf{R}^{n+m}rightarrow mathbf{R}^m$ 为连续可微函数, $ mathbf{R}^{n+m}$ 中的元素写 成$ mathbf{(x,y)}=(x_1,cdots,x_n,y_1,cdots,y_m)$ 的形式.对于任意一 点$ (mathbf{a,b}) = (a_{1},cdots, a_{n}, b_{1},cdots,b_m)$ 使得$ f(mathbf{a,b}) = 0$,隐函数存在定理给出了一个充分 条件,用来判断能否在$ (mathbf{a,b})$附近定义一 个$ mathbf{y}$关于$ mathbf{x}$的函数$ g$,使得只 要$ f(mathbf{x,y})=0$,就有 $ mathbf{y}=g(mathbf{x})$.严格地说,就是存 在$ mathbf{a}$和$ mathbf{b}$的邻域$ U$ 和 $ V$,使得$ g$是 从 $ U$ 到 $ V$ 的函数,并且$ g$的函数图像满足$ {displaystyle { (mathbf{x}, g(mathbf{x})) } = { (mathbf{x}, mathbf{y}) | f(mathbf{x}, mathbf{y}) =0 } cap (U times V).}$
要使的这样的函数$ g$存在,函数$ f$ 的雅可比矩阵一定要满足一定的性质.对于给 定的一点 $ (a,b)$,$ f$ 的雅可比矩阵写做$ {displaystyle (Df)(mathbf{a},mathbf{b}) = left[begin{matrix} frac{partial f_1}{partial x_1}(mathbf{a},mathbf{b}) & cdots & frac{partial f_1}{partial x_n}(mathbf{a},mathbf{b})\ vdots & ddots & vdots\ frac{partial f_m}{partial x_1}(mathbf{a},mathbf{b}) & cdots & frac{partial f_m}{partial x_n}(mathbf{a},mathbf{b}) end{matrix}right|left. begin{matrix} frac{partial f_1}{partial y_1}(mathbf{a},mathbf{b}) & cdots & frac{partial f_1}{partial y_m}(mathbf{a},mathbf{b})\ vdots & ddots & vdots\ frac{partial f_m}{partial y_1}(mathbf{a},mathbf{b}) & cdots & frac{partial f_m}{partial y_m}(mathbf{a},mathbf{b})\ end{matrix}right] = [X|Y] }$
隐函数存在定理说明了:如果 $ Y$ 是一 个可逆的矩阵,那么满足前面性质的$ U,V$ 和函数 $ g$ 就会存在.Proof: 当 $ mathbf{x}$ 取定值 $ mathbf{x_0}$ 时,$ f(mathbf{x,y})$ 变成了从 $ mathbf{R}^m$ 到 $ mathbf{R}^m$ 的映射 $ f(mathbf{x_{0}},mathbf{y})$,其中 $ f(mathbf{mathbf{x_{0}},y})$ 的自变量为 $ mathbf{y}$.$ f(mathbf{x_0,y})$ 易得也是连续可微函 数footnote{为什么?}.$ f(mathbf{x_0,y})$ 在点 $ mathbf{b}$ 处的导数对应的雅可比矩 阵易得为
$ {displaystyle begin{bmatrix} frac{partial f_1}{partial y_1}(mathbf{x_0,b})&cdots&frac{partial f_1}{partial y_m}(mathbf{x_0,b})\ vdots&ddots&vdots\ frac{partial f_m}{partial y_1}(mathbf{x_0,b})&cdots&frac{partial f_m}{partial y_m}(mathbf{x_0,b})\ end{bmatrix}. }$
令邻域 $ U$ 的直径足够小,则 $ mathbf{x_0}$ 会与点 $ mathbf{a}$ 足够接近.由 于以 $ mathbf{y}$ 为自变量的函数 $ f(mathbf{a,y})$ 在点 $ mathbf{b}$ 的导函数可逆,由 $ f$ 的导函数的连续性,我们会得到 $ f(mathbf{x_0,y})$ 在 $ mathbf{b}$ 点的导数也可逆.因此根据反函数定理,可得 $ f(mathbf{x_0,y})$ 是 $ U$ 上的可逆函数.因 此当 $ f(mathbf{x_0,y})=0$ 时,$ mathbf{y}$ 值将唯一,不妨记做 $ mathbf{y_0}$.综上可见,当 $ mathbf{x}$ 取定值时,$ mathbf{y}$ 也会随之 取定值,可见,函数 $ g$ 是存在的,$ g(mathbf{x_0})=mathbf{y_0}$. $ Box$
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