简单地自动控制——为什么特征方程这么重要？
热场视频：
平衡杆-双轴反动车倒立摆
戳棍子！ 具有主动脚轮的全向移动机器人
我的自行车怎么车轮少--球轮控制系统
科技丰富的桌面级旋转倒立摆2
目录
前序
传统艺能，一言以蔽之
指标的概念
这本书
建立数学模型
本篇开始：分析“稳准速”指标与特征根的关系
自律原理总结
z变换的常用方法很简单
后述
文章结构：前序-一言以蔽之-建模-时域分析-Z变换-后记
问题解决：什么是自律？ 怎么建模？ 怎么分析？
中途不想看的话，请参阅后记的部分。
前面的顺序是自动控制的，简单地说：
家里的室内灯的关闭和打开方式要随着天黑自动变化，进入自动控制。 你看，自动控制曾经是人观察并调整到合适的事情让机器自己调整、自动驾驶的粗糙的脱人化。 一个马达使履带旋转搬运货物。 众所周知，如果行李很重，摩擦力可能会阻碍电机的旋转，从而降低转速。 如何使电机在不同的负载下保持相同的转速，进行自动控制？ 此外，自动控制是人给了设定值(例如，旋转速度、温度、角度等)后，即使不进行管理，机器也稳定地达到了你的设定值。 以前，所有的船都需要抛下地址停留在辽阔的大洋上，现在的一些船通过GPS取得自己的位置。 如果船向东偏移，船的动力会自动使船向西偏移并维持在原地。 发射一枚导弹，无论是在哪里发射的，还是在深深的内陆，或是在海上、海里、空中，都可以命中目标。 为了自动控制，设定目标后，导弹本身就会到达目标。 以上是简单的说明，从以上过程中总结出有哪些共同点，能够自动控制的系统需要设定值，需要获取控制量的实时值。 (对于电机，控制的量是电机的转速，对于船，控制的量是位置，对于导弹，控制的量是飞行方向)，需要控制的量自动跟踪设定值的机制和算法。 去人化是指每一台机器都实现了自动化。
《自动控制原理》和《现代控制理论》这两本书，我完全没有重读过好几次。
首先基础的这《自动控制原理》，上来就是例子和定义很抽象，然后讲系统的分类，最后一堆书是纯数学的，简言之，这不是给初学者看的书，这是已经有基础适合巩固和深化的书读了之后，有人说，我是因为理解和尊重科学知识才在生产生活中使用的，但具体是怎么用的我不知道。 这些书，让我感到羞愧。
该书分为三个块，线性连续系统、线性离散系统、非线性系统。 离散系统与连续很相似，本文仅论述时域到离散域变换的直观方法； 非线性分析部分是基础性的，如果能进行连续系统分析就可以看到。
本文的目的是先不看书，看我这个，然后去看书。 卡在概念上，卡在方法上，找不到方向的概率相当低。 (PS .但是，写了这篇文章之后，让我们回顾一下
看，概念和数学介绍起来不是那么简单）这期是水一期，我从头到尾给你讲一下，传递函数中的特征方程为啥那么重要，这只是自控的自洽完备的理论体系里面的一小点，且在这里碎片化的提一下，给个印象，不是高效的系统性总结，所以是水一期。
传统艺能，一言以蔽之这里放个图：控制系统抽象出的结构框图（圆叉符号表示加和，控制器的描述为A（理解为放大倍数，增益或者一个函数）被控对象的描述这里暂定为1）
可以用公式写一下：
自动控制原理这门课，所要解决的最内核的问题，就是设计中间的那个控制器的内部算法，让输出能够且更好的跟踪输入。
要想研究，就先量化，要想量化，先定指标。
指标的概念再看一个图，观察。这是两根随时间变化的曲线，一个是上图中系统的输入值Xi（虚线），另一个是系统的输出值Xo（实线）。
评判自控系统“优劣”的三个指标：
稳定性：输出能否跟踪输入，以及跟踪过程中变化的幅度；
准确性：输出能跟踪输入并且稳定后，两者之间的差是多少；
快速性：输出跟踪输入时，输出由开始到跟上，用的时间是多少。
具体量化指标即：
稳定性：稳定判据；超调量δ = （Xom - Xi）/Xi；
准确性：err（图中的稳态误差）；
快速性：tr（上升时间），tm（峰值时间），ts（调节时间）以及振荡次数μ。
总结：把一个实体系统，建立微分方程、传递函数和频率特性的数学模型，分别在时域、复域和频域三个“维度”，评价这个系统的“稳准快”性能，这本书说完了。目的就是得到“稳准快”这三个指标，初学到此足够。
这三个“维度”，就是三条路，都可以到达目的地，走哪一条都可以，区别就是对于不同的系统和目的，三条路的重要性和难易程度不同。
这本书这本书：建立数学模型->微分方程的时域分析->传递函数的复域分析->频率特性的频域分析，然后简单介绍一下离散系统和非线性系统的一般计算方法，没了就这些。
建立数学模型基本模型：电容，电感。
为了把微分方程写成传递函数，去掉零初始值，经过拉普拉斯变换，写成输出比上输入的形式。一次微分当成s，两次微分当成s^2，一次积分当成1/s，依次类推，怎么来的，拉普拉斯变换，降维，把积分微分符号变成乘除，有兴趣去推一推。
电路中，可以直接把电容和电感分别写成阻抗形式，然后就按照普通的欧姆定律计算即可求出该电路的传递函数，在给定输入的情况下，计算出输出，然后把输出反拉氏变换，就得到了输出的时域解，进而画出时域解的图像，或者就求导之类的计算“稳准快”。
下面举一个例子，如何写出一个系统的微分方程、传递函数和频率特性。
正片开始：分析“稳准快”指标与特征根的关系再举一个例子，看这个电路，这次不但写数学模型，再求解一下“稳准快”指标。
其微分方程可以写成如下形式：
再写传递函数，先别管为什么写，写出来看看：
求一下特征方程的跟：
a和b好像与微分方程的解有相同之处（全文点睛），将a和b带入看看：
“稳准快”的具体公式：
所以你看，特征方程的跟a+bj决定了系统的“稳准快”指标，即系统动态响应过程与特征跟在复平面的位置有关。对于高阶系统，同样适用。
更形象的理解，看上面的输出公式Uo（t）；a是负数，a如果变大，则Uo（t）的图像曲线会更加“陡”，如果a变小，曲线会温和平静一些，a是管“纵向”幅度的；b在正弦函数里，b变大，曲线会被往右“拉长”，反之同理，b是管“横向”拉伸的。一纵一横，这输出量的图像基本就确定了。
自控原理总结 Z变换一般方法简析
下面给出一个例子：
1、上面对系统进行建模的环节都是拿电路举例，只是举例，这种数学建模思想可以直接平移用到其他系统。
2、说了那么多，那通过数学推导出的控制器，该怎么转变为软件算法呢。相比于实体控制器，这样的好处是控制算法容易修改，容易维护和部署，但缺点是速度可能比实际电路运行的慢些，考虑一下性价比。计算机是离散的，如无处不在的律动，只需把连续传函变为离散传函即可。
3、控制器花样繁多，学自动化或者自动控制，不可不了解的一种，那就是PID，现在工业现场的控制任务，这种算法用的最多，改进型的PID，也多达二十多种，易读易用。
4、让更多的人真正理解这门课的内涵和意义，本篇文字也是简单打一个样子，许多科目本来相当实用和有意思，我想传达这种精神，各位，吃喝玩乐很有意思，因为那些本身就是为了让人感觉好的，但是如果让难的事物，让更有价值的事物在保持能够给人加价的同时，也能变得有意思，这是现代社会的一种内核趋势。
5、说句题外话：我看模电，一次看的电子科大的慕课，并按照每一节知识点作笔记，然后重新梳理笔记，对于BJT，最后我总结的学习路线是由概念到等效模型，到偏置电路及其意义，再到放大电路和三种接法，最后到频率特性，可是视频课程的安排却是概念（上），偏置电路，概念（下），等效模型，放大电路，三种接法第一种，频率特征，三种接法后两种。我觉得我是按照正常人理解的顺序整理的，而视频的讲解顺序有点打乱的感觉，模电原课本更加抽象和厚重，让我觉得不光是考试的时候筛选人才，在这种环境里，其学习的过程都是在筛选。想起很久以前听的一个事，就是日本在其国注册了一些专利，由于产业需要，也要在中国注册这些的专利，给我们看日本的专利文件，念起来是一句话，但句子又长又难懂，东扯西扯，可能是翻译的缘故，但更可能的就是人家故意写的晦涩一些。
在制造技术壁垒上理所当然，但是在学习知识上，有种“我好不容易学得的，你想学也得给我难一些”，可能为人师表的不是这种心理，但是我有权利也有理由怀疑。
6、平衡车，平衡自行车，二阶倒立摆，旋转倒立摆等“神奇”的事物，都是经典和现代控制理论最直接典型的应用，生活中无处不在。应用现代控制理论建模，列状态方程，仿真和实现，现今其实缺乏这种一整套的从无到有的全过程体验和训练。
(over)
首发于 知乎 2020.3.22