正余弦函数及其反函数导数推导 背景
三角函数的求导涉及到重要极限
limx→0sinxx
的使用。
其反三角函数涉及复合函数求导。此文主要是对这两点知识的应用。
=limdx→0sin(x+dx2+dx2)−sin(x+dx2−dx2)dx
=limdx→02cos(x+dx2)sin(dx2)dx
=limdx→0cos(x+dx2)sin(dx2)dx2
=limdx→0cos(x+dx2)⋅sin(dx2)dx2
=limdx→0cos(x+dx2)⋅1=cosx
三角函数求导 cosx
(cosx)′=limdx→0cos(x+dx)−cos(x)dx=limdx→0cos(x+dx2+dx2)−cos(x+dx2−dx2)dx
=limdx→0−2sin(x+dx2)sin(dx2)dx
=limdx→0−sin(x+dx2)sin(dx2)dx2=−sinx
三角函数求导 arcsinx
(sin(arcsinx))′=cos(arcsinx)⋅(arcsinx)′1=cos(arcsinx)⋅(arcsinx)′
(arcsinx)′=1cos(arcsinx)=11−x2−−−−−√
三角函数求导 arccosx
(cos(arccosx))′=−sin(arccosx)⋅(arccosx)′1=−sin(arccosx)⋅(arccosx)′
(arccosx)′=1−sin(arccosx)=−11−x2−−−−−√