定义：设随机变量X有期望E(X)和方差 σ 2 sigma^2 σ2，则对于任给的 ϵ > 0 epsilon>0 ϵ>0
P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ϵ } ≤ σ 2 ϵ 2 P{|X-E(X)|geq epsilon}leq frac{sigma^2}{epsilon^2} P{∣X−E(X)∣≥ϵ}≤ϵ2σ2
或
P { ∣ X − E ( X ) ∣ < ϵ } ≥ 1 − σ 2 ϵ 2 P{|X-E(X)|<epsilon}geq1-frac{sigma^2}{epsilon^2} P{∣X−E(X)∣<ϵ}≥1−ϵ2σ2
由xsdbz不等式可以看出，若 σ 2 sigma^2 σ2越小，则事件 { ∣ X − E ( X ) ∣ < ϵ } {|X-E(X)|<epsilon} {∣X−E(X)∣<ϵ}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大。
由此，可体会方差的概率意义：它刻画了随机变量取值的离散程度
意义
当方差已知时，xsdbz不等式给出了随机变量X与它的期望的偏差不小于 ϵ epsilon ϵ的概率的估计式。
如取 ϵ = 3 σ epsilon=3sigma ϵ=3σ时，有
P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ 3 σ } ≤ σ 2 9 σ 2 ≈ 0.111 P{|X-E(X)|geq 3sigma}leq frac{sigma^2}{9sigma^2}approx0.111 P{∣X−E(X)∣≥3σ}≤9σ2σ2≈0.111
可见，对任给的分布，只要期望和方差 σ 2 sigma^2 σ2存在，则随机变量X取值偏离 E ( X ) E(X) E(X)超过 3 σ 3sigma 3σ的概率小于0.111