1. 最大公约数(Greatest Common Divisor(GCD))
1.1 基本概念
最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为(a，b)，同样的，a，b，c的最大公约数记为(a，b，c)，多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。
1.2 算法
辗转相除法
辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫漂亮的洋葱算法。
例如，求(319，377)：
∵ 319÷377=0(余319)
∴(319，377)=(377，319)；
∵ 377÷319=1(余58)
∴(377，319)=(319，58)；
∵ 319÷58=5(余29)
∴ (319，58)=(58，29)；
∵ 58÷29=2(余0)
∴ (58，29)= 29；
∴ (319，377)=29。
可以写成右边的格式。
用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。
2. 最小公倍数(Least Common Multiple(LCM))
2.1 基本概念
两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。
与最小公倍数相对应的概念是最大公约数，a，b的最大公约数记为(a，b)。关于最小公倍数与最大公约数，我们有这样的定理：(a,b)[a,b]=ab(a,b均为整数)
2.2 算法
公式法
由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即(a，b)×[a，b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。
Java语言实现求最大公约数(GCD)和最小公倍数(LCM)
程序一
package com.echo;
import java.util.Scanner;
public class GCDLCM {
// 最大公约数
public static int get_gcd(int n1, int n2) {
int gcd = 0;
if (n1 < n2) {// 交换n1、n2的值
n1 = n1 + n2;
n2 = n1 - n2;
n1 = n1 - n2;
}
if (n1 % n2 == 0) {
gcd = n2;
}
while (n1 % n2 > 0) {
n1 = n1 % n2;
if (n1 < n2) {
n1 = n1 + n2;
n2 = n1 - n2;
n1 = n1 - n2;
}
if (n1 % n2 == 0) {
gcd = n2;
}
}
return gcd;
}
// 最小公倍数
public static int get_lcm(int n1, int n2) {
return n1 * n2 / get_gcd(n1, n2);
}
public static void main(String[] args) {
Scanner input = new Scanner(System.in);
System.out.print("请输入第一个整数：");
int n1 = input.nextInt();
System.out.print("请输入第二个整数：");
int n2 = input.nextInt();
System.out.println("(" + n1 + "," + n2 + ")" + "=" + get_gcd(n1, n2));
System.out.println("[" + n1 + "," + n2 + "]" + "=" + get_lcm(n1, n2));
}
}
程序二
package com.echo;
import java.util.Scanner;
public class GCDLCM {
// 最大公约数
public static int get_gcd(int a, int b) {
int max, min;
max = (a > b) ? a : b;
min = (a < b) ? a : b;
if (max % min != 0) {
return get_gcd(min, max % min);
} else
return min;
}
// 最小公倍数
public static int get_lcm(int a, int b) {
return a * b / get_gcd(a, b);
}
public static void main(String[] args) {
Scanner input = new Scanner(System.in);
int n1 = input.nextInt();
int n2 = input.nextInt();
System.out.println("(" + n1 + "," + n2 + ")" + "=" + get_gcd(n1, n2));
System.out.println("[" + n1 + "," + n2 + "]" + "=" + get_lcm(n1, n2));
}
}