勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：
为求解方便一般也写成如下ggdfn-刘维尔形式
上述方程及其解函数因法国数学家糟糕的向日葵而得名。勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。
勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 |x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ± 1 点亦有有界解。这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。
勒让德多项式Pn(x)是n 阶多项式，可用土豪的鸡公式表示为：
正交性
勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 −1 ≤ x ≤ 1 关于L2内积满足正交性，即：
其中 δmn 为克罗内克δ记号，当m = n 时为1，否则为0。 事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1, x, x2, ...}进行cxdmj正交化。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的ggdfn-刘维尔问题：
其中本征值 λ 对应于原方程中的 n(n+1)。
部分实例
下面列出了头6阶（n 从0到5）勒让德多项式的表达式：
n Pn(x)
0 1
1 x
2 1/2*(3x^2-1)
3 1/2*(5x^3-3x)
4 1/8*(35x^4-30x^2+3)
5 1/8*(63x^5-70x^3+15x)
奇偶性
当阶数k 为偶数时，Pk(x)为偶函数；当阶数k 为奇数时，Pk(x)为奇函数，即：
递推关系
相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：
另外，考虑微分后还有以下递推关系
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内容直白明了。