数字信号处理：时域采样定理与频域采样定理 1.时域采样定理
%初始参数A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;M=64; %做64点fft变换n=0:M-1;%采样频率fs为1000HzFs1=1000; T1=1/Fs1;xn1=A*exp(-alph*n*T1).*sin(omega*n*T1); %对原函数的抽样取点Xk1=fft(xn1,M); %fft变换后Xk1=abs(Xk1); %取幅值subplot(3,2,1);stem(n,xn1);title('(a) Fs=1000Hz');xlabel('n');ylabel('xa(nT)');subplot(3,2,2);plot(n,Xk1);title('(b) Fs=1000Hz');xlabel('f/Hz');ylabel('幅度'); %采样频率为300HzFs2=300; T2=1/Fs2;xn2=A*exp(-alph*n*T2).*sin(omega*n*T2);Xk2=fft(xn2,M);Xk2=abs(Xk2);subplot(3,2,3);stem(n,xn2);title('(c) Fs=300Hz');xlabel('n');ylabel('xa(nT)');subplot(3,2,4);plot(n,Xk2);title('(d) Fs=300Hz');xlabel('f/Hz');ylabel('幅度');%采样频率为200HzFs3=200; T3=1/Fs3;xn3=A*exp(-alph*n*T3).*sin(omega*n*T3);Xk3=fft(xn3,M);Xk3=abs(Xk3);subplot(3,2,5);stem(n,xn3);title('(e) Fs=200Hz');xlabel('n');ylabel('xa(nT)');subplot(3,2,6);plot(n,Xk3);title('(f) Fs=200Hz');xlabel('f/Hz');ylabel('幅度');
由结果图我们可以发现，当采样频率取1000Hz时，混叠还很小，而当采样频率取300Hz和200Hz时，混叠现象十分严重。所以我们可以得出，采样频率的取值Fs对于频谱是否重叠起着非常关键的作用。这样就验证了时域采样定理，采样频率 必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。
2.频域采样定理
M=27;N=32;n=0:M;%生成三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2);xb=ceil(M/2)-1:-1:0;xn=[xa,xb];%做fft变换Xk=fft(xn,1024); %1024点fft用于近似序列FT[x(n)]X32k=fft(xn,32);x32n=ifft(X32k);X16k=fft(xn,16);x16n=ifft(X16k);%作图subplot(3,2,1);k=0:1023;kk=2*k/1024;plot(kk,abs(Xk));xlabel('w/pi');ylabel('|X(e^j^omega)|');title('(a) FT[x(n)]');subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.'); %这样会变成实心点xlabel('n');ylabel('x(n)');title('(b) 三角波序列x(n)');subplot(3,2,3);k=0:31;stem(k,abs(X32k));xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');title('(c) 32点频域采样');subplot(3,2,4);stem(k,x32n);xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');title('(d) 32点DFT');subplot(3,2,5);k=0:15;stem(k,abs(X16k));xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');title('(e) 16点频域采样');subplot(3,2,6);stem(k,x16n);xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,40,0,20]);%控制图像坐标范围title('(f) 16点DFT');
由上图(b)可知，三角波序列长度为26，即时域离散信号长度M为26。如图(f)，当频域采样点数N(16)小于时域离散信号的长度M(26)时，将发生时域混叠失真。而如图(d),当频域采样点数N(32)大于时域离散信号的长度M(26)时，没有发生失真现象。由此验证了频域采样定理，即频域采样点数N必须大于时域离散信号的长度M（N>=M)。