Darboux 中值定理是反映导函数介值性的一个定理.陈述如下:
(Darboux 中值定理)若函数 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导,$alpha,betain (a,b)$,且 $alpha<beta$,且 $F'(alpha)<F'(beta)$,则对于任意的 $kin (F'(alpha),F'(beta))$,必定存在 $xiin (alpha,beta)$, 使得 $F'(xi)=k$.为了证明达布中值定理,我们先考虑它的特殊情形.为此先证明如下引理.
当 $F'(alpha)<0,F'(beta)geq 0$ 时,必定存在 $xiin (alpha,beta)$,使得 $F'(xi)=0$.由于 $F$ 在 $[alpha,beta]$ 上连续,因此 $F$ 在 $[alpha,beta]$ 上有最大值.设最大值 为 $F(xi_1)$,其中 $xi_1in [alpha,beta]$.当 $xi_1in (alpha,beta)$ 时，显然 $F'(xi_1)=0$. 当 $xi_1=alpha$ 或 $xi_1=beta$ 时,根据对称性,我们不妨假设 $xi_1=alpha$.则 $F(alpha)$ 是 $F$ 在 $[alpha,beta]$ 上的最大值.根据连续函数的介值性,必定存在 $xi_2in [alpha,beta)$,使得 $F(xi_2)=F(beta)$.因此根据 Rolle 定理,必定存在 $xi_3in (xi_2,beta)$,使得 $f'(xi_3)=0$. 综上所述,引理得证.
证了这个引理后,下面开始证明 Darboux 中值定理.
令 begin{equation} G(x)=F(x)-kx end{equation} 可得 $G'(alpha)<0$,$G'(beta)> 0$,则根据引理,可得存在 $xiin (alpha,beta)$,使得 begin{equation} label{eq:1} G'(xi)=0 end{equation} 即 $F'(xi)=k$.
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